Question

如圖（1），在Rt△ABC的邊AB的同側(cè)，分別以三邊為直徑作三個(gè)半圓，大半圓以外的兩部分面積分別為S₁、S₃，三角形的面積為S₂；
如圖（2），兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交的圖象于分別于點(diǎn)A，B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動時(shí)，△BOD，四邊形OAPB，△AOC的面積分別為S₁、S₂、S₃；
如圖（3），點(diǎn)E為?ABCD邊AD上任意一點(diǎn)，三個(gè)三角形的面積分別為S₁、S₂、S₃；
如圖（4），梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB+∠ABC=90°，AB=2CD，以AD、DC、CB為邊作三個(gè)正方形的面積分別為S₁、S₂、S₃．
在這四個(gè)圖形中滿足S₁+S₃=S₂有______（填序號）．

Answer 1

解：（1）如圖：可得S₁+S₃=π+π+S₂-π=π（AC²+BC²-AB²）+S₂，
又∵AB²=AC²+BC²，
∴S₁+S₃=S₂．

（2）根據(jù)k的幾何意義可得：S_BDO=|k|=，S_AOC=|k|=，S_OAPB=2-S_BDO-S_AOC=1，
∴S₁+S₃=S₂．

（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S₂=S_ABCD，
∴S₁+S₂=S_ABCD，
∴S₁+S₃=S₂．

（4）∵AB∥DC，
∴四邊形DCBE是平行四邊形，
∴DC=BE，BC=DE，∠ABC=∠AED，
∵∠DAB+∠ABC=90°，2DC=AB，
∴DC=AE，∠DAE+∠AED=90°，
∴∠ADE=90°那么AD²+DE²=AE²，
∵S₁=AD²，S₂=DC²=AE²，S₃=BC²=AE²，
∴S₂=S₁+S₃．
綜上可得（1）（2）（3）（4）四個(gè)圖形均滿足S₂=S₁+S₃．
故答案為（1）（2）（3）（4）．
分析：圖（1）根據(jù)AB²=AC²+BC²，半圓的面積等于πr²，可得出S₁、S₂、S₃的關(guān)系．
圖（2）過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個(gè)定值|k|，△BOD的面積為矩形面積的一半，即 |k|，從而可判斷出S₁、S₂、S₃的關(guān)系．
圖（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S₂=S_ABCD，從而可得出S₁+S₃=S₂．
圖（4）過點(diǎn)D作EE∥BC交AB于點(diǎn)E，得到平行四邊形DCBE和Rt△ADE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，不難證明三個(gè)正方形的邊長對應(yīng)等于所得直角三角形的邊．
點(diǎn)評：本題考查了勾股定理、反比例函數(shù)的幾何意義及平行四邊形的性質(zhì)，涉及的知識點(diǎn)較多，難度較大，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，平心四邊形的性質(zhì)，梯形的知識分別表示出各圖中的S₁、S₂、S₃．