Question

【題目】二次函數(shù)y=+bx+c（a＞0）的頂點為P，其圖象與x軸有兩個交點A（﹣m，0），B（1，0），交y軸于點C（0，﹣3am+6a），以下說法：①m=3；②當(dāng)∠APB=120°時，a=；③當(dāng)∠APB=120°時，拋物線上存在點M（M與P不重合），使得△ABM是頂角為120°的等腰三角形；④拋物線上存在點N，當(dāng)△ABN為直角三角形時，有a≥.正確的是（ ）.

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④

Answer 1

【答案】D.

【解析】

試題分析：①把A、B兩點的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式得到①式和a+b+c=0②式，將兩式相減即可得到m=，即可得到C（0，3a﹣3b），從而得到c=3a﹣3b，代入②式可得b=2a，所以m==3，故①正確；

②∵m=3，∵A（﹣3，0），∴拋物線的解析式可設(shè)為y=a（x+3）（x﹣1），可得頂點P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4a）．根據(jù)對稱性可得PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=30°．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，則有PG⊥x軸，∴PG=AGtan∠PAG=2×=，∴4a=，∴a=，故②正確；

③在第一象限內(nèi)作∠MBA=120°，且滿足BM=BA，過點M作MH⊥x軸于H，如圖1，在Rt△MHB中，∠MBH=60°，則有MH=4sin60°=4×=，BH=4cos60°=4×=2，∴點M的坐標(biāo)為（3，），當(dāng)x=3時，y=（3+3）（3﹣1）=，∴點M在拋物線上，故③正確；

④∵點N在拋物線上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°．當(dāng)△ABN為直角三角形時，∠ANB=90°，此時點N在以AB為直徑的⊙G上，因而點N在⊙G與拋物線的交點處，要使點N存在，點P必須在⊙G上或⊙G外，如圖2，則有PG≥2，即4a≥2，也即a≥，故④正確．

故選：D．