【答案】
分析:(1)拋物線的方程已知為:
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,由題中的圖形可知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0,代入拋物線方程,可得A點(diǎn)的縱坐標(biāo);
因?yàn)锳B∥OC,所以B點(diǎn)縱坐標(biāo)與A點(diǎn)相同,再將它代入拋物線方程可得B點(diǎn)坐標(biāo);
C點(diǎn)在x軸上,C點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,將它代入方程可得C點(diǎn)坐標(biāo).
(2)法一:過(guò)B作BQ⊥OC,交MN于H,交OC于Q,則Rt△BNH∽R(shí)t△BCQ,
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設(shè)MN=x,NP=y,
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,可得x和y的關(guān)系式,再由長(zhǎng)方形的面積公式:
S=xy,將y用x表達(dá),可得到S關(guān)于x的二次函數(shù),再求此二次函數(shù)的最大值,由此可知MN為何值時(shí),面積最大;
法二:過(guò)B作BQ⊥x軸于Q,則Rt△CPN∽R(shí)t△CQB,后面于法一的解答相同;
法三:利用Rt△BHN∽R(shí)t△NPC也能解答;
法四:過(guò)B點(diǎn)作BQ⊥x軸于Q,則Rt△BQC∽R(shí)t△NPC,△BQC為等腰直角三角形,△NPC為等腰直角三角形,由此可以得出
PN與MN的關(guān)系式,再代入面積公式,可得二次函數(shù),再求此二次函數(shù)的最大值即可.
(3)①對(duì)于任意一條直線,將直線從直角梯形的一側(cè)向另一側(cè)平移的過(guò)程中,總有一個(gè)位置使得直線將該梯形面積分割成相等的兩部分.
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②過(guò)上、下底作一條直線交AB于E,交OC于F,且滿足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底與下底的和為13即可.
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③構(gòu)造一個(gè)三角形,使其面積等于整個(gè)梯形面積的一半,
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④平行于兩底的直線,一定會(huì)有其中的一條將原梯形分成面積相等的兩部分;
.
解答:解:(1)由圖形得,點(diǎn)A橫坐標(biāo)為0,將x=0代入
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,
得y=10,
∴A(0,10)
∵AB∥OC,
∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為10,將y=10代入拋物線表達(dá)式得,
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,
∴x
1=0,x
2=8.
∵B點(diǎn)在第一象限,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(8,10)
∵C點(diǎn)在x軸上,
∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,將y=0代入拋物線表達(dá)式得,
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解得x
1=-10,x
2=18.
∵C在原點(diǎn)的右側(cè),
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(18,0). (4分)
(2)法一:過(guò)B作BQ⊥OC,交MN于H,交OC于Q,則Rt△BNH∽R(shí)t△BCQ,
∴

. (5分)
設(shè)MN=x,NP=y,則有
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.
∴y=18-x. (6分)
∴S
矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x
2+18x=-(x-9)
2+81.
∴當(dāng)x=9時(shí),有最大值81.
即MN=9時(shí),矩形MNPO的面積最大,最大值為81. (8分)
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法二:過(guò)B作BQ⊥x軸于Q,則Rt△CPN∽R(shí)t△CQB,
∴

.
設(shè)MN=x,NP=y,則有

.
∴y=18-x.
∴S
矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x
2+18x=-(x-9)
2+81.
∴當(dāng)x=9時(shí),有最大值81.
即MN=9時(shí),矩形MNPO的面積最大,最大值為81.
法三:利用Rt△BHN∽R(shí)t△NPC也能解答,解答過(guò)程與法二相同.
法四:過(guò)B點(diǎn)作BQ⊥x軸于Q,則Rt△BQC∽R(shí)t△NPC,
QC=OC-OQ=18-8=10,又QB=OA=10,
∴△BQC為等腰直角三角形,
∴△NPC為等腰直角三角形.
設(shè)MN=x時(shí)矩形MNPO的面積最大.
∴PN=PC=OC-OP=18-x.
∴S
矩形MNOP=MN•PN=x(18-x)=-x
2+18x=-(x-9)
2+81.
∴當(dāng)x=9時(shí),有最大值81.
即MN=9時(shí),矩形MNPO的面積最大,最大值為81.
(3)①對(duì)于任意一條直線,將直線從直角梯形的一側(cè)向另一側(cè)平移的過(guò)程中,總有一個(gè)位置使得直線將該梯形面積分割
成相等的兩部分.

②過(guò)上、下底作一條直線交AB于E,交OC于F,且滿足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底與下底的和為13即可. (4分)
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③構(gòu)造一個(gè)三角形,使其面積等于整個(gè)梯形面積的一半,因此有:
△OCP
1,

;△OCP
2,
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;△OAP
3,P
3(13,0);△CBP
4,P
4(5,0);

④平行于兩底的直線,一定會(huì)有其中的一條將原梯形分成面積相等的兩部分;
點(diǎn)評(píng):本題考查的有:矩形的面積,二次函數(shù)的最值,梯形的面積等考點(diǎn).