Question

有一張矩形紙片ABCD，E、F、分別是BC、AD上的點(diǎn)（但不與頂點(diǎn)重合），若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB=a，AD=b，BE=x．
（1）求證：AF=EC；
（2）用剪刀將該紙片沿直線EF剪開(kāi)后，再將梯形紙片ABEF沿AB對(duì)稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長(zhǎng)線上，拼接后，下方梯形記作EE'B'C．
①當(dāng)x：b為何值時(shí)，直線E'E經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)？
②在直線E'E經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的情形下，連接BE'，直線BE'與EF是否平行？你若認(rèn)為平行，請(qǐng)給予證明；你若認(rèn)為不平行，試探究當(dāng)a與b有何種數(shù)量關(guān)系時(shí)，它們就垂直？

Answer 1

分析：（1）由于EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，所以可由面積相等建立等式，進(jìn)而求解；
（2）可先作出簡(jiǎn)單的圖形，根據(jù)題中條件，則可作出兩種符合題意的圖形，進(jìn)而依據(jù)題意再結(jié)合圖形，求解即可．

解答：解：（1）證明：由

1

2

（x+AF）•a=

1

2

（b-x+b-AF）•a，
得AF=b-x，
又EC=b-x，
∴AF=EC．

（2）翻折后的圖形如圖，

①如圖1，當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形頂點(diǎn)D時(shí)，x：b=

2

3

，
如圖2，當(dāng)直線E′E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，x：b=

1

3

；
②如圖1，當(dāng)矩形E′E經(jīng)過(guò)原矩形頂點(diǎn)D時(shí)，BE′∥EF，
理由如下：根據(jù)題意得，BE=DF，EE′=EF，
又∵∠BEE′=∠DEC=∠EDF，
∴在△BEE′與△FDE中，

BE=DF ∠BEE′ EE′=DE

=∠EDF，
∴△BEE′≌△FED（SAS），
∴∠BE′E=∠FED，
∴BE′∥EF；
如圖2，當(dāng)直線E′E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，且當(dāng)a：b=

2

3

時(shí)，BE′與EF垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形面積的計(jì)算方法以及對(duì)于翻折、旋轉(zhuǎn)一類問(wèn)題的求解，能夠熟練掌握這類問(wèn)題的解題思想，并能夠熟練求解．