Question

已知拋物線y=-x²+kx-k+2．
（1）求證：無論k為任何實數(shù)，該拋物線與x軸都有兩個交點；
（2）在拋物線上有一點P（m，n），n＜0，OP=

10

3

，且線段OP與x軸正半軸所夾銳角的正弦值為

4

5

，求該拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線x軸上方的部分沿x軸翻折，與原圖象的另一部分組成一個新的圖形M，當直線y=-x+b與圖形M有四個交點時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先令y=0可得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程的解與判別式△的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）過點P作PA⊥x軸于A，則∠OAP=90°，由OP=

10

3

，sin∠POA=

4

5

，可得出AP，OA的長，再根據(jù)n＜0，可得出P點坐標，把P點坐標代入拋物線y=-x²+kx-k+2即可得出k的值，故可得出拋物線解析式；
（3））由（2）中求出的拋物線的解析式可令y=0求出x的值，故可得出拋物線與x軸的交點坐標，求出直線y=-x+b經(jīng)過點B時b的值，再求出直線與拋物線相切時b的值即可得出b的取值范圍．

解答：（1）證明：當y=0時，得x²-kx+k-2=0．
∵b²-4ac=k²-4（k-2）=（k-2）²+4．
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0．
∴無論k為任何實數(shù)，該拋物線與x軸都有兩個交點；

（2）解：如圖，過點P作PA⊥x軸于A，則∠OAP=90°，
∵OP=

10

3

，sin∠POA=

4

5

，
∴AP=

8

3

，OA=2，
∵n＜0，
∴P（2，-

8

3

），
∵P在拋物線上，
∴-

8

3

=-4+2k-k+2，
∴k=-

2

3

，
∴拋物線解析式為y=-x²-

2

3

x+

8

3

；

（3）解：∵當y=0時，-x²-

2

3

x+

8

3

=0，
∴x₁=-2，x₂=

4

3

，
∴拋物線與x軸相交于點B（-2，0），（

4

3

，0），
∴當直線y=-x+b經(jīng)過點B（-2，0）時，b=-2．
當直線y=-x+b與拋物線y=-x²-

2

3

x+

8

3

相切時，x²+

2

3

x-

8

3

=-x+b，
∴△=

25

9

+4（b+

8

3

）=0．
∴b=-

121

36

．
∴當-

121

36

＜b＜-2時，直線與圖形M有四個交點．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到直線與拋物線的交點問題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式等知識，難度適中．