Question

（2011•鞍山）已知如圖，D是△ABC中AB邊上的中點(diǎn)，△ACE和△BCF分別是以AC、BC為斜邊的等腰直角三角形，連接DE、DF．
求證：DE=DF．

Answer 1

分析：分別取AC、BC中點(diǎn)M、N，連接MD、ND，再連接EM、FN，利用在直角三角形中：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和已知條件證明四邊形MDNC為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明△EMD≌△DNF即可．

解答：證明：分別取AC、BC中點(diǎn)M、N，連接MD、ND，再連接EM、FN，
∵D為AB中點(diǎn)，∠AEC=90°，∠BFC=90°，
∴EM=DN=

1

2

AC，F(xiàn)N=MD=

1

2

BC，
DN∥CM且DN=CM，
∴四邊形MDNC為平行四邊形，
∴∠CMD=∠CND．
∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，
即∠EMD=∠FND，
∴△EMD≌△DNF（SAS）．
∴DE=DF．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，題目難度中等綜合性不小．