Question

在△ABC中，已知BC=4cm，∠BAC=45°，則△ABC的最大面積是（　�。�

• A、8cm²
• B、16cm²
• C、4(1+

  2

  )cm²
• D、8(1+

  2

  )cm²

Answer 1

分析：作出△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出∠BOC=90°，過點O作OD⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出半徑OB的長度，再根據(jù)三角形的面積公式，底邊BC一定，邊BC上的高越大則三角形的面積越大，所以，當(dāng)BC邊上的高過圓心O時，三角形的面積最大，進(jìn)行求解即可．

解答：解：如圖，△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
過點O作OD⊥BC，垂足為D，則
BD=CD=

1

2

BC=2（等腰三角形三線合一），
∵∠BOC=90°，OD⊥BC，
∴OD=

1

2

BC=2，
半徑OB=

OD2+BD2

=

22+22

=2

2

，
∵BC=4cm一定，
∴BC邊上的高越大，則△ABC的面積越大，當(dāng)高過圓心時，最大，
此時BC邊上的高為：2

2

+2，
∴△ABC的最大面積是：

1

2

×4×（2

2

+2）=4（

2

+1）cm²．
故選C．

點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出△ABC的外接圓，利用圓的知識進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵，本題靈活性較強，是道好題．