Question

如圖1，已知BC是圓O的直徑，線段RQ∥BC，A是RQ上的任意一點，AF與圓O相切于點F，連接AB與圓O相交于點M，D是AB上一點，AD=AF，DE垂直于AB并與AC的延長線交于點E．
（1）當點A處于圖2中A₀的位置時，A₀C與圓O相切于點C，求證：△A₀DE≌△A₀CB；
（2）當點A處于圖3中A₁的位置時，A₁F：A₁E=1：2，A1C：BC=

2

：

3

．求角BCA₁的大�。�
（3）圖1中，若BC=4，RQ與BC的距離為3，那么△ADE的面積S與點A的位置有沒有關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于A₀F、A₀C都是圓的切線，由切線長定理知：A₀F=A₀C，由此可得A₀D=A₀C，再加上公共角∠BA₀E、一組直角，即可證得所求的三角形全等．
（2）連接CM，則CM⊥A₁B，已知A₁F：A₁E=1：2，即A₁D：A₁E=1：2，由此可求得∠DA₁E=60°，∠A₁CM=30°；首先用未知數(shù)表示出A₁C、BC的長，在Rt△A₁CM中，根據(jù)∠MA₁C的度數(shù)可表示出CM的值，進而可在Rt△BCM中，根據(jù)CM、BC的值求出∠BCM的度數(shù)，由此得解．
（3）此題應分兩種情況討論：
①如圖2的情況，即AE與圓相切，此時△ABC≌△ADE，因此△ADE的面積等于△ABC的面積；
②如圖1、3的情況，即AE與圓相交，設(shè)AE與圓的另一個交點為N，連接BN、CM，由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切線長定理：AF²=AM×AB，由于A點在直線PQ上運動，所以△ABC的面積是不變的，因此△ADE的面積也不變，即S與A的位置無關(guān)．

解答：（1）證明：∵A₀F、A₀C都是圓的切線，
∴A₀F=A₀C，
又∵A₀F=A₀D，
∴A₀C=A₀D；
∵∠DA₀E=∠CA₀B，
∠EDA₀=∠BCA₀=90°，
∴△A₀DE≌△A₀CB．

（2）解：連接CM，則CM⊥A₁B；
∵A₁F=A₁D，且A₁F：A₁E=1：2，
∴A₁D：A₁E=1：2，即∠MA₁C=60°，∠A₁CM=30°；
設(shè)A₁C=

2

x，則CM=

6

2

x，BC=

3

x；
在Rt△BCM中，BC：CM=

3

x：

6

2

x=

2

：1，
∴∠BCM=45°，
∴∠BCA₁=∠BCM+∠A₁CM=75°．

（3）解：①當AE與圓相切時，由（1）可知：△ADE≌△ACB，
此時S_△ADE=S_△ABC；

②當AE與圓相交時，設(shè)AE與圓的另一個交點為N，連接BN，CM；
由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切線長定理：AF²=AM×AB，
得：AM：AF=AF：AB，
∴CM：DE=AF：AB，
∴AF•DE=AB•MC，
∴AD•DE=AB•MC，
∴

1

2

AD•DE=

1

2

AB•MC=S_△ABC，
由于A點在平行于AB的直線上運動，因此△ABC的面積為定值，且S_△ABC=

1

2

×4×3=6；
故△ADE的面積S與A的位置無關(guān)，且恒為6．

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形以及全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計算方法等知識，難度較大．