Question

如圖，在正方形ABCD中，∠DAC的平分線交DC于點E，點P、Q分別是AD和AE上的動點，若DQ+PQ的最小值是2，則正方形ABCD的周長為    ．

Answer 1

【答案】分析：過D作DF⊥AE于F，延長DF交AC于D′，過D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．由角平分線的性質可得出D′是D關于AE的對稱點，進而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值，再根據等腰直角三角形的性質求出正方形的邊長，則周長=4×邊長．
解答：解：過D作DF⊥AE于F，延長DF交AC于D′，過D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．
∵DD′⊥AE于F，
∴∠AFD=∠AFD′=90°，
∵∠DAC的平分線交DC于點E，
∴∠DAE=∠CAE，
∵在△DAF與△D′AF中，
，
∴△DAF≌△D′AF（ASA），
∴D′是D關于AE的對稱點，AD=AD′，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′=2，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′²+AP′²=AD′²，AD′²=8，
∴AD′=2，AD=AD′=2
∴正方形ABCD的周長=4AD=8．
故答案為8．
點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．