Question

（2012•張家口一模）如圖，直線l₁⊥x軸于點(diǎn)（1，0），直線l₂⊥x軸于點(diǎn)（2，0），直線l₃⊥x軸于點(diǎn)（3，0），…直線l_n⊥x軸于點(diǎn)（n，0）．函數(shù)y=x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…A_n；函數(shù)y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…B_n．如果△OA₁B₁的面積記作S₁，四邊形A₁A₂B₂B₁的面積記作S₂，四邊形A₂A₃B₃B₂的面積記作S₃，…四邊形A_n-1A_nB_nB_n-1的面積記作S_n，那么S₂₀₁₂=

2011.5

．

Answer 1

分析：先求出A₁，A₂，A₃，…A_n和點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…B_n的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式計(jì)算△OA₁B₁的面積；四邊形A₁A₂B₂B₁的面積，四邊形A₂A₃B₃B₂的面積，…四邊形A_n-1A_nB_nB_n-1的面積，則通過兩個(gè)三角形的面積差計(jì)算，這樣得到S_n=n-

1

2

，然后把n=2012代入即可求得答案．

解答：解：∵函數(shù)y=x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…A_n，
∴A₁（1，1），A₂（2，2），A₃（3，3）…A_n（n，n），
又∵函數(shù)y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…B_n，
∴B₁（1，2），B₂（2，4），B₃（3，6），…B_n（n，2n），
∴S₁=

1

2

•1•（2-1），
S₂=

1

2

•2•（4-2）-

1

2

•1•（2-1），
S₃=

1

2

•3•（6-3）-

1

2

•2•（4-2），
…
S_n=

1

2

•n•（2n-n）-

1

2

•（n-1）[2（n-1）-（n-1）]=

1

2

n²-

1

2

（n-1）²=n-

1

2

．
當(dāng)n=2012，S₂₀₁₂=2012-

1

2

=2011.5．
故答案為：2011.5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積以及整數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意得到規(guī)律：S_n=n-

1

2

是解此題的關(guān)鍵．