Question

已知：如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，延長CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點E．
（1）求證：AE=ED；
（2）若AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：如圖．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵DF=CD，
∴AB∥DF．
∵DF=CD，
∴AB=DF．
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴AE=DE．

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD．
∴∠COD=90°．
∵四邊形ABDF是平行四邊形，
∴AF∥BD．
∴∠CAF=∠COD=90°．
分析：（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形，再利用平行四邊形對角線互相平分可證出結(jié)論；
（2）首先證明四邊形ABCD是菱形，再用菱形的性質(zhì)可得到AC⊥BD，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠CAF=∠COD=90°．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法與性質(zhì)．