Question

如圖，點C為線段AB上一動點，△ACD，△CBE是等邊三角形，AE交BD于點O，AE交CD于點P，BD交CE于點Q，連接OC，下列結論中：①PE=BQ，②∠AOD=60°，③EO=BQ，④OC+OE=OB，⑤OC平分∠AOB，正確的結論有

 

（只填序號）．

Answer 1

分析：已知△ACD，△CBE是等邊三角形，可證△ACE≌△DCB．從而△BCQ≌△ECP，則PE=BQ①對，故EO≠BQ．③錯．
由上可知∠CEA=∠CBO，∠EQO=∠BQC，從而可推出△BCQ∽△E0Q，則∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②對．
因∠POQ=120°，又因為△BCQ∽△E0Q，所以

OQ

CQ

=

QE

BQ

，因為∠OQC=∠BQE，所以△OQC∽△EQB，所以∠COQ=∠CEB=60°，∠POC=60°，則OC平分∠AOB⑤對．
連接PQ，過點P做OP=OM，則△OPM為等邊三角形，所以∠OMC=60°，故∠PMC=120°，又因為∠POQ=120°，所以∠PMC=∠POQ，易證PQ∥BC，所以∠OQP=∠DBC，因為∠DBC=∠AEC，所以∠OQP=∠AEC，因為∠OPC=∠OPC，∠AOC=∠PCE=60°所以△CPO∽△EPC，∠PEC=∠PCO，∠PCO=∠OQP．又因為OP=PM，可知△OPQ≌△MPC，所以MC=OQ．因此OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④對．

解答：解：∵△ACD，△CBE是等邊三角形
∴BC=CE，CD=AC，∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△DCB
∴∠AEC=∠CBD，∠PCE=∠QCB，BC=EC
∴△BCQ≌△ECP
∴PE=BQ①對，故EO≠BQ．③錯
由上可知，∠CEA=∠CBO，∠EQO=∠BQC
∴△BCQ∽△E0Q
∴∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②對．
∴∠POQ=120°
∵△BCQ∽△E0Q
∴

OQ

CQ

=

QE

BQ

∵∠OQC=∠BQE
∴△OQC∽△EQB
∴∠COQ=∠CEB=60°
∴∠POC=60°
∴OC平分∠AOB⑤對．
連接PQ，過點P做OP=OM．
∵∠POM=60°
∴△OPM為等邊三角形
∴∠OMC=60°
∴∠PMC=120°
又∵∠POQ=120°
∴∠PMC=∠POQ，易證PQ∥BC
∴∠OQP=∠DBC
∵∠DBC=∠AEC
∴∠OQP=∠AEC
∵∠OPC=∠OPC，∠AOC=∠PCE=60°
∴△CPO∽△EPC
∴∠PEC=∠PCO
∴∠PCO=∠OQP
又∵OP=PM
∴△OPQ≌△MPC
∴MC=OQ
∴OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④對．
故①②④⑤是正確的．

點評：當題中出現(xiàn)兩個等邊三角形時，常見的兩對三角形對應全等等知識點應牢固掌握．得到其中的相似并且利用相似是本題的難點．