Question

大數學家高斯在上學讀書時曾經研究過這樣一個問題：1+2+3+…+n=？經過研究，這個問題的結論是1+2+3+…+n=

1

2

n(n+1)，其中n是正整數．現在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…+n（n+1）=？觀察下面三個特殊的等式：
1×2=

1

3

(1×2×3-0×1×2)，
2×3=

1

3

(2×3×4-1×2×3)，
3×4=

1

3

(3×4×5-2×3×4)，
將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20．
根據上述規(guī)律，請你計算：1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n(n+1)(n+2)

；1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3)

．

Answer 1

分析：觀察已知的三個等式，得出一般性的規(guī)律，根據得出的規(guī)律表示出1×2+2×3+…+n（n+1）的每一項，抵消合并后即可得到結果；依此類推得到1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
總結出一般性規(guī)律，將各項變形后，去括號合并即可得到結果．

解答：解：根據閱讀材料中的例子得：1×2+2×3+…+n（n+1）
=

1

3

（1×2×3-0×1×2）+

1

3

（2×3×4-1×2×3）+…+

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=

1

3

n（n+1）（n+2）；
依此類推：1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）+

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+

1

4

[（n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案為：

1

3

n（n+1）（n+2）；

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）

點評：此題考查了規(guī)律型：數字的變化類，其中弄清題意，得出一般性的規(guī)律是解本題的關鍵．