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13.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點B和點C的坐標(biāo)分別為(3,0)(0,-3),拋物線的對稱軸為x=1,D為拋物線 的頂點.
(1)求拋物線的解析式.
(2)拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PCD為等腰三角形?若存在,寫出點P點的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
(3)點E為線段BC上一動點,過點E作x軸的垂線,與拋物線交于點F,求四邊形ACFB面積的最大值,以及此時點E的坐標(biāo).

分析 (1)由B、C的坐標(biāo),結(jié)合拋物線對稱軸,根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)由拋物線解析式可求得D點坐標(biāo),可設(shè)P點坐標(biāo)為(1,t),則可表示出PC、PD和CD的長,由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況分別得到關(guān)于t的方程,可求得P點坐標(biāo);
(3)由B、C可求得直線BC解析式,可設(shè)出F點坐標(biāo),則可表示出E點坐標(biāo),從而可求得EF的長,則可表示出△CBF的面積,從而可表示出四邊形ACFB的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值,及E點的坐標(biāo).

解答 解:
(1)∵點B和點C的坐標(biāo)分別為(3,0)(0,-3),拋物線的對稱軸為x=1,
{9a+3b+c=0c=32a=1,解得{a=1b=2c=3
∴拋物線解析式為y=x2-2x-3;
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴D(1,-4),且C(0,-3),
∵P點為對稱軸上的一點,
∴可設(shè)P(1,t),
∴PC=12+t+32=t2+6t+10,PD=|t-4|,CD=12+4+32=2,
∵△PCD為等腰三角形,
∴分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況,
①當(dāng)PC=PD時,則t2+6t+10=|t-4|,解得t=37,此時P點坐標(biāo)為(1,37);
②當(dāng)PC=CD時,則t2+6t+10=2,解得t=-2或t=-4(與D點重合,舍去),此時P點坐標(biāo)為(1,-2);
③當(dāng)PD=CD時,則|t-4|=2,解得t=4+2或t=4-2,此時P點坐標(biāo)為(1,4+2)或(1,4-2);
綜上可知存在滿足條件的P點,其坐標(biāo)為(1,37)或(1,-2)或(1,4+2)或(1,4-2);
(3)∵B(3,0),C(0,-3),
∴直線BC解析式為y=x-3,

∵E點在直線BC上,F(xiàn)點在拋物線上,
∴設(shè)F(x,x2-2x-3),E(x,x-3),
∵點F在線段BC下方,
∴EF=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x,
∴S△BCF=12EF•OB=12×3(-x2+3x)=-32x2+92x=-32(x-322+278,且S△ABC=12AB•OC=12×4×3=6,
∴S四邊形ACFB=S△ABC+S△BCF=-32(x-322+278+6=-32(x-322+758
∵-32<0,
∴當(dāng)x=32時,S四邊形ACFB有最大值,最大值為758,此時E點坐標(biāo)為(32,-32),
綜上可知四邊形ACFB面積的最大值758,此時點E的坐標(biāo)為(32,-32).

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、方程思想及分類討論思想等知識.在(1)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟,在(2)中用P點坐標(biāo)表示出PC、PC及CD的長是解題的關(guān)鍵,注意分三種情況,在(3)中用F點的坐標(biāo)表示出四邊形ACFB的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多,綜合性較強,難度適中.

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整數(shù):{121,0,\root{3}{-27},(-2)2016,-52…}
分?jǐn)?shù):{-73,3.14,0.24…}
負(fù)實數(shù):{-73\root{3}{-27},-62,0.24,(-2)2016,-52…}
無理數(shù):{56π3,35,-62…}.

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