分析 (1)由B、C的坐標(biāo),結(jié)合拋物線對稱軸,根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)由拋物線解析式可求得D點坐標(biāo),可設(shè)P點坐標(biāo)為(1,t),則可表示出PC、PD和CD的長,由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況分別得到關(guān)于t的方程,可求得P點坐標(biāo);
(3)由B、C可求得直線BC解析式,可設(shè)出F點坐標(biāo),則可表示出E點坐標(biāo),從而可求得EF的長,則可表示出△CBF的面積,從而可表示出四邊形ACFB的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值,及E點的坐標(biāo).
解答 解:
(1)∵點B和點C的坐標(biāo)分別為(3,0)(0,-3),拋物線的對稱軸為x=1,
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$,
∴拋物線解析式為y=x2-2x-3;
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴D(1,-4),且C(0,-3),
∵P點為對稱軸上的一點,
∴可設(shè)P(1,t),
∴PC=$\sqrt{{1}^{2}+(t+3)^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$,PD=|t-4|,CD=$\sqrt{{1}^{2}+(-4+3)^{2}}$=$\sqrt{2}$,
∵△PCD為等腰三角形,
∴分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況,
①當(dāng)PC=PD時,則$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=|t-4|,解得t=$\frac{3}{7}$,此時P點坐標(biāo)為(1,$\frac{3}{7}$);
②當(dāng)PC=CD時,則$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=$\sqrt{2}$,解得t=-2或t=-4(與D點重合,舍去),此時P點坐標(biāo)為(1,-2);
③當(dāng)PD=CD時,則|t-4|=$\sqrt{2}$,解得t=4+$\sqrt{2}$或t=4-$\sqrt{2}$,此時P點坐標(biāo)為(1,4+$\sqrt{2}$)或(1,4-$\sqrt{2}$);
綜上可知存在滿足條件的P點,其坐標(biāo)為(1,$\frac{3}{7}$)或(1,-2)或(1,4+$\sqrt{2}$)或(1,4-$\sqrt{2}$);
(3)∵B(3,0),C(0,-3),
∴直線BC解析式為y=x-3,
∵E點在直線BC上,F(xiàn)點在拋物線上,
∴設(shè)F(x,x2-2x-3),E(x,x-3),
∵點F在線段BC下方,
∴EF=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x,
∴S△BCF=$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×3(-x2+3x)=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$(x-$\frac{3}{2}$)2+$\frac{27}{8}$,且S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6,
∴S四邊形ACFB=S△ABC+S△BCF=-$\frac{3}{2}$(x-$\frac{3}{2}$)2+$\frac{27}{8}$+6=-$\frac{3}{2}$(x-$\frac{3}{2}$)2+$\frac{75}{8}$,
∵-$\frac{3}{2}$<0,
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時,S四邊形ACFB有最大值,最大值為$\frac{75}{8}$,此時E點坐標(biāo)為($\frac{3}{2}$,-$\frac{3}{2}$),
綜上可知四邊形ACFB面積的最大值$\frac{75}{8}$,此時點E的坐標(biāo)為($\frac{3}{2}$,-$\frac{3}{2}$).
點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、方程思想及分類討論思想等知識.在(1)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟,在(2)中用P點坐標(biāo)表示出PC、PC及CD的長是解題的關(guān)鍵,注意分三種情況,在(3)中用F點的坐標(biāo)表示出四邊形ACFB的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多,綜合性較強,難度適中.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{2\sqrt{6}}{5}$ | C. | $\frac{\sqrt{6}}{12}$ | D. | $\frac{1}{25}$ |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ±1,±2,±3,±4 | B. | ±2,±3 | C. | ±1,±2,±3 | D. | ±2,±3,±4 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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