Question

如圖，E、F、G、H分別四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點，當(dāng)四邊形ABCD滿足條件

 

時，四邊形EFGH是菱形；當(dāng)四邊形ABCD滿足條件

 

時，四邊形EFGH是矩形．（請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可）

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的中位線定理，可以證明所得四邊形的兩組對邊分別和兩條對角線平行，所得四邊形的兩組對邊分別是兩條對角線的一半，再根據(jù)平行四邊形的判定就可證明該四邊形是一個平行四邊形；所得四邊形要成為矩形，則需有一個角是直角，故對角線應(yīng)滿足互相垂直；所得四邊形要成為菱形，則需有一組鄰邊相等，故對角線應(yīng)滿足相等．

解答：解：連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，GH∥AC，GH=

1

2

AC，EH∥BD，EH=

1

2

BD，
∴EF∥HG，EF=GH，F(xiàn)G∥EH，F(xiàn)G=EH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
要使四邊形EFGH是矩形，則需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；
要使四邊形EFGH是菱形，則需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD．
故答案為：AC=BD，AC⊥BD．

點評：此題主要考查了三角形的中位線定理的運用．同時熟記此題中的結(jié)論：
順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形；
順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是矩形；
順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形．