(2012•聊城一模)在一平直河岸l同側(cè)有A,B兩個村莊,A,B到l的距離分別是3km和2km,AB=akm(a>1).現(xiàn)計劃在河岸l上建一抽水站P,用輸水管向兩個村莊供水.
某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種鋪設(shè)管道方案:圖1是方案一的示意圖,設(shè)該方案中管道長度為d1,且d1=PB+BA(km)(其中BP⊥l于點P);圖2是方案二的示意圖,設(shè)該方案中管道長度為d2,且d2=PA+PB(km)(其中點A′與點A關(guān)于l對稱,A′B與l交于點P).

觀察計算:(1)在方案一中,d1=
a+2
a+2
km(用含a的式子表示);
(2)在方案二中,組長小宇為了計算d2的長,作了如圖3所示的輔助線,請你按小宇同學(xué)的思路計算,d2=
a2+24
a2+24
km(用含a的式子表示).
探索歸納:(1)①當(dāng)a=4時,比較大。篸1
d2(填“>”、“=”或“<”);
②當(dāng)a=6時,比較大。篸1
d2(填“>”、“=”或“<”);
(2)請你參考方法指導(dǎo),就a(當(dāng)a>1時)的所有取值情況進(jìn)行分析,要使鋪設(shè)的管道長度較短,應(yīng)選擇方案一還是方案二?
方法指導(dǎo):當(dāng)不易直接比較兩個正數(shù)m與n的大小時,可以對它們的平方進(jìn)行比較:
∵m2-n2=(m+n)(m-n),m+n>0,
∴(m2-n2)與(m-n)的符號相同.
當(dāng)m2-n2>0時,m-n>0,即m>n;
當(dāng)m2-n2=0時,m-n=0,即m=n;
當(dāng)m2-n2<0時,m-n<0,即m<n.
分析:觀察計算:(1)由題意可以得知管道長度為d1=PB+BA(km),根據(jù)BP⊥l于點P得出PB=2,故可以得出d1的值為a+2.
(2)由條件根據(jù)勾股定理可以求出KB的值,由軸對稱可以求出′K的值,在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值
a2+24
就是管道長度.
探索歸納:(1)①把a=4代入d1=a+2和d2=
a2+24
就可以比較其大小;
②把a=6代入d1=a+2和d2=
a2+24
就可以比較其大;
(2)分類進(jìn)行討論當(dāng)d1>d2,d1=d2,d1<d2時就可以分別求出a的范圍,從而確定選擇方案.
解答:解:(1)∵BP⊥l,
∴BP=2,
∵AB=a,
∴d1=a+2.
(2)∵點A′與點A關(guān)于l對稱,
∴AA′=6,
∵BK⊥AA′,
∴AK=1,在Rt△ABK中,由勾股定理,得
∴BK2=a2-1,
在Rt△KBA′由勾股定理,得
A′B2=25+a2-1=a2+24.
∴A′B=
a2+24

探索歸納
(1)①當(dāng)a=4時,d1=6,d2=2
10

∵6<2
10

∴d1<d2
  ②當(dāng)a=6時,d1=8,d2=2
15

∵8>2
15

∴d1>d2
(2)∵d12-d22=(a+2)2-(
a2+24
2=4a-20,
∴①當(dāng)4a-20>0,即a>5時,d1>d2;
∴選擇方案二鋪設(shè)管道較短.
②當(dāng)4a-20=0,a=5時,d1=d2
∴選擇方案一、二鋪設(shè)管道一樣長
③當(dāng)4a-20<0,即a<5時,d1<d2
∴選擇方案一鋪設(shè)管道較短.
綜上可知:當(dāng)a>5時,選方案二;
當(dāng)a=5時,選方案一或方案二;
當(dāng)1<a<5 時,選方案一.
故答案為:a+2,
a2+24
,<,>.
點評:本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運用,最短路線問題數(shù)學(xué)模式的運用,勾股定理的運用,數(shù)的大小的比較方法的運用.
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