Question

宏遠(yuǎn)廣告公司要為某企業(yè)的一種產(chǎn)品設(shè)計(jì)商標(biāo)圖案，給出了如下幾種初步方案，供繼續(xù)設(shè)計(jì)選用（設(shè)圖中圓的半徑均為r）
（1）如圖1，分別以線段O₁O₂的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以這條線段的長(zhǎng)為半徑作出兩個(gè)互相交錯(cuò)的圓的圖案，試求兩圓相交部分的面積；
（2）如圖2，分別以等邊△O₁O₂O₃的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，作出三個(gè)兩兩相交的相同的圓，這時(shí)，這三個(gè)圓相交部分的面積又是多少呢？
（3）如圖3，分別以正方形O₁O₂O₃O₄的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，作出四個(gè)相同的圓，這時(shí)，這四個(gè)圓相交部分的面積又是多少呢？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)兩圓交于A，B兩點(diǎn)，連接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．
求兩圓相交部分的面積，即求S_菱形+4S_弓的面積．由題意知△O₁O₂A為正三角形，四個(gè)弓形的圓心角為60°，分別求出求S_菱形，及弓形的面積即可；
（2）求三個(gè)圓相交部分的面積，即求S_△O1O2A+3S_弓．由題意知△O₁O₂A為正三角形，三個(gè)弓形的圓心角為60°，分別求△O₁O₂O₃的面積，及弓形的面積即可；
（3）要求四個(gè)圓相交部分的面積，即求S_正方形-4，而=-，由（1）可求．
解答：解：（1）設(shè)兩圓交于A，B兩點(diǎn)，連接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．
則S_陰=S_菱形+4S_弓．
∵S_菱形=2，△O₁O₂A為正三角形，其邊長(zhǎng)為r．
∴=，S_弓=-=．
∴S_陰=2×+4（）=πr²-r²．


（2）圖2陰影部分的面積為：
S_陰=+3S_弓
∵△O₁O₂O₃為正三角形，邊長(zhǎng)為r，
∴=．
∴S_弓=-．
S_陰=+3（-）=．

（3）延長(zhǎng)O₂O₁與⊙O₁交于點(diǎn)A，⊙O₁與⊙O₄交于點(diǎn)B．
由（1）知，=（-）．
∵=-=-（-）=+，
則-4=r²-4（+）=（+1-）r²．
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，考查圓與圓的位置關(guān)系中，互相交錯(cuò)的圓的圖案的面積問(wèn)題，同時(shí)考查了綜合應(yīng)用能力及推理能力．