Question

要使方程x⁴+（m-4）x²+2（1-m）=O恰有一個(gè)不小于2的實(shí)根，那么m的取值范圍是

m≤-l

．

Answer 1

分析：首先設(shè)y=x²，將四次方程轉(zhuǎn)化為二次方程：y²+（m-4）y+2（1-m）=0，然后設(shè)f（y）=y²+（m-4）y+2（1-m），由判別式△可得此二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，又由開(kāi)口向上與方程x⁴+（m-4）x²+2（1-m）=O恰有一個(gè)不小于2的實(shí)根（即方程y²+（m-4）y+2（1-m）=0恰有一個(gè)不小于4的實(shí)根），即可得f（4）≤0，即可得不等式16+4（m-4）+2（1-m）≤0，解此不等式即可求得m的取值范圍．

解答：解：設(shè)y=x²，
則原方程為：y²+（m-4）y+2（1-m）=0，
設(shè)f（y）=y²+（m-4）y+2（1-m），
∴△=（m-4）²-8（1-m）=m²-8m+16-8+8m=m²+8＞0，
∴方程y²+（m-4）y+2（1-m）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，且開(kāi)口向上，
∵方程x⁴+（m-4）x²+2（1-m）=O恰有一個(gè)不小于2的實(shí)根，
∴方程y²+（m-4）y+2（1-m）=0恰有一個(gè)不小于4的實(shí)根（圖象如草圖），
∴f（4）=16+4（m-4）+2（1-m）≤0，
解得：m≤-1．
∴m的取值范圍是m≤-l．
故答案為：m≤-l．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方根的分布，函數(shù)的性質(zhì)與一元一次不等式的解法．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意二次函數(shù)的性質(zhì)的靈活應(yīng)用．