Question

（2007•株洲）已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于點D，以D為坐標原點，CD所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）若⊙O₁，⊙O₂分別為△ACD，△BCD的內切圓，求直線O₁O₂的解析式；
（3）若直線O₁O₂分別交AC，BC于點M，N，判斷CM與CN的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意先證明△ADC∽△ACB，所以AC²=AD•AB，求得AD的長，同理DB，CD，從而求出A，B，C三點坐標；
（2）設⊙O₁的半徑為r₁，⊙O₂的半徑為r₂，根據(jù)面積公式可知S_△ADC，從而得到r₁，r₂，由此可求得直線O₁O₂的解析式；
（3）由（1）易得直線AC的解析式，聯(lián)立直線O₁O₂的解析式，求得點M的縱坐標為，過點M作ME⊥y軸于點E，由Rt△CME∽Rt△CAD得出比例關系，解得CM的長，同理得CN的長，再判斷CM與CN的大小關系．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，CD⊥AB
∴△ADC∽△ACB，∴AC²=AD•AB，
∴AD=；
同理DB=，CD=，
∴A（-，0），B（，0），C（0，）

（2）設⊙O₁的半徑為r₁，⊙O₂的半徑為r₂，
則有S_△ADC=AD•CD=（AD+CD+AC）r₁
∴，同理；
∴；
由此可求得直線O₁O₂的解析式為：；

（3）CM與CN的大小關系是相等．
證明如下：法一：由（1）易得直線AC的解析式為：，
聯(lián)立直線O₁O₂的解析式，求得點M的縱坐標為，
過點M作ME⊥y軸于點E，
∴CE=CD-DE=；由Rt△CME∽Rt△CAD，得，
解得：，同理，∴CM=CN；
法二：∵⊙O₁，⊙O₂分別為△ACD，△BCD的內切圓，
∴∠O₁DE=∠O₂DE=×90°=45°，
∴∠O₁DO₂=90°，
∴∠O₁DO₂=∠ACB
∵△ACD∽△CBD，⊙O₁，⊙O₂分別為△ACD，△BCD的內切圓，
∴=
∴Rt△O₁O₂D∽Rt△ABC，
∴∠O₂O₁D=∠BAC，
由此可推理：∠CMN=∠O₁DA=45°，
∴∠CNM=45°，∴CM=CN．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用，解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．