Question

已知正三角形ABC，AB=a，點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，以相同速度作直線運動，且點P沿射線AB方向運動，點Q沿射線BC方向運動．設(shè)AP的長為x，△PCQ的面積為S，
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當AP的長為多少時，△PCQ的面積和△ABC的面積相等？

Answer 1

解：（1）當0＜x＜a時，作PM⊥BQ（如圖1），
則，CQ=AP=x，所以S=．
當x=a時，S=0．
當x＞a時，同樣作PM⊥BQ（如圖2），
則，所以S=．

（2）S_△ABC=．
當0＜x＜a時，由=，
得x²-ax+a²=0．
因為b²-4ac=-3a²＜0，
所以此方程無解．
當x＞a時，由=，
得x²-ax-a²=0．
解得.不合題意舍去，
所以，
即當時，△PCQ的面積和△ABC的面積相等．
分析：（1）分當0＜x＜a時和當x＞a時，作PM⊥BQ，表示出線段，利用三角形的面積公式寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）首先表示出S_△ABC，分0＜x＜a時和當x＞a時列出方程求解x的值即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，根據(jù)題意分類討論列出函數(shù)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．