Question

如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是AB延長線上的一點，過P點作⊙O的切線，切點為C，連接AC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的長；
（2）若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點M，你認(rèn)為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出∠CMP的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可知OC⊥PC，則△OPC為直角三角形，OC=3，可根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PC的值；
（2）從PM是∠APC的角平分線可知∠CPM=∠MPA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求出∠CMP=∠A+∠MPA=45度．因為∠A與∠CPA為定值，故∠CMP的大小不發(fā)生變化．
解答：解：（1）連接OC，PM，
PC是⊙O的切線，
∴∠OCP=90°；
∵∠CPA=30°，OC==3，
∴tan30°==，即PC=；（5分）

（2）∠CMP的大小不發(fā)生變化；（2分）
∵PM是∠CPA的平分線，
∴∠CPM=∠MPA，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO；
在△APC中，
∵∠A+∠ACP+∠CPA=180°，
∴2∠A+2∠MPA=90°，∠A+∠MPA=45°，
∴∠CMP=∠A+∠MPA=45°；  （5分）
即∠CMP的大小不發(fā)生變化，為45°．
點評：本題需要學(xué)生通過嘗試，提出猜想、驗證猜想、總結(jié)規(guī)律．既考查基本的數(shù)學(xué)知識與方法，又注重從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納能力的要求，突出了學(xué)生對圖形的探究及探索出有效的解法策略．
[常見錯誤]
（1）：利用三角函數(shù)解直角三角形時，三角函數(shù)與邊不對應(yīng)，或三角函數(shù)值記錯；
（2）：關(guān)于∠CMP的定值問題錯誤的兩種觀點：①認(rèn)為∠CMP大小不變者，用第（1）小題的特殊值（∠A=30°）進(jìn)行論證；②認(rèn)為∠CMP大小變化者，把∠A看成是不變的角（30°），∠CMP=∠A+∠CMP=30°+∠CMP．