Question

已知如圖所示，二次函數(shù)y=3x²-3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．直線x=1+m（m＞O）與x軸交于點D．
（1）求A、B、C三點的坐標．
（2）在直線x=l+m（m＞0）上有一點P（點P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點的坐標（用含m的代數(shù)式表示）．
（3）在（2）成立的條件下，試問：拋物線y=3x²-3上是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，則3x²-3=0，
解得x₁=-1，x₂=1，
所以，點A（-1，0），B（1，0），
令x=0，則y=3×0-3=-3，
所以，點C的坐標為（0，-3）；

（2）∵B（1，0），C（0，-3），
∴OB=1，OC=3，
又∵直線x=l+m（m＞O）與x軸交于點D，
∴BD=1+m-1=m，
①OB與BD是對應邊時，
∵△BCO∽△BPD，
∴=，
即=，
解得PD=3m，
所以，此時點P的坐標是（1+m，3m），
②OC與BD是對應邊時，
∵△BCO∽△PBD，
∴=，
即=，
解得PD=m，
所以，此時點P的坐標為（1+m，m）；

（3）存在．理由如下：
∵A（-1，0），B（1，0），
∴AB=1-（-1）=1+1=2，
根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，PQ=AB=2，且PQ∥AB，
①當點P（1+m，3m）時，1+m-2=m-1，
所以，點Q的坐標為（m-1，3m），
∵點Q在拋物線上，
∴3（m-1）²-3=3m，
整理得，m²-3m=0，
解得，m₁=3，m₂=0（舍去），
②當點P（1+m，m）時，1+m-2=m-1，
所以，點Q的坐標為（m-1，m），
∵點Q在拋物線上，
∴3（m-1）²-3=m，
整理得，9m²-19m=0，
解得m₁=，m₂=0（舍去），
∵3與都大于0，
∴拋物線y=3x²-3上存在點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形，
此時，m的值為3與．
分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標，令x=0，求出y的值即可得到點C的坐標；
（2）根據(jù)點B、C的坐標求出OB、OC的長度，再求出BD的長度，然后分①OB與BD是對應邊，②OC與BD是對應邊，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出關于m的方程，即可得到點P的坐標；
（3）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等用m表示出點Q的坐標，再根據(jù)點Q在拋物線上，代入拋物線解析式計算求出m的值，即可得解．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，相似三角形對應邊成比例的性質，平行四邊形的對邊平行且相等，（2）中要注意根據(jù)對應邊的不同分情況討論，（3）根據(jù)平行四邊形的性質用m表示出點Q的坐標是解題的關鍵．