Question

（2013•石景山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD、A₁B₁C₁D₁是兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為5和1且中心重合的正方形．其中，正方形A₁B₁C₁D₁可以繞中心O旋轉(zhuǎn)，正方形ABCD靜止不動(dòng)．
（1）如圖1，當(dāng)D、D₁、B₁、B四點(diǎn)共線時(shí)，四邊形DCC₁D₁的面積為

6

_；
（2）如圖2，當(dāng)D、D₁、A₁三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出

CD1

DD1

=

4

3

；
（3）在正方形A₁B₁C₁D₁繞中心O旋轉(zhuǎn)的過程中，直線CC₁與直線DD₁的位置關(guān)系是

CC₁⊥DD₁

，請(qǐng)借助圖3證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出四邊形DCC₁D₁是等腰梯形，利用梯形的面積公式求出即可；
（2）由題意得出△AA₁D≌△DD₁C，即可得出DD₁=CC₁，進(jìn)而利用勾股定理得出答案；
（3）根據(jù)題意得出△COC₁≌△DOD₁（SAS），進(jìn)而得出∠ODD₁=∠OCC₁，即可得出∠CMD=90°得出答案即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD、A₁B₁C₁D₁是兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為5和1且中心重合的正方形，
∴當(dāng)D、D₁、B₁、B四點(diǎn)共線時(shí)，四邊形DCC₁D₁的高為（5-1）÷2=2，
∴S四邊形DCC1D1=

1

2

×(1+5)×2=6；
故答案為：6；

（2）∵∠CDD₁+∠ADA₁=90°，∠D₁DC+∠DCD₁=90°，
∴∠DCD₁=∠ADA₁，
在△ADA₁和△DCD₁中，

∠DD1C=∠AA1D ∠D1CD=∠ADA1 CD=AD

，
∴△ADA₁≌△DCD₁（AAS），
∴DD₁=CC₁，
設(shè)DD₁=CC₁=x，
∴CD₁=x+1，
∴x²+（x+1）²=5²，
解得：x=3，
∴CD₁=4，
∴

CD1

DD1

=

4

3

；
故答案為：

4

3

；         

（3）CC₁⊥DD₁
證明：連接CO，DO，C₁O，D₁O，
延長(zhǎng)CC₁交DD₁于M點(diǎn)．如圖3所示：
由正方形的性質(zhì)可知：CO=DO，C₁O=D₁O，∠COD=∠C₁OD₁=90°，
∴∠COD-∠C₁OD=∠C₁OD₁-∠C₁OD，
即：∠COC₁=∠DOD₁
在△COC₁和△DOD₁中，

OC1=OD1 ∠COC1=∠DOD1 CO=DO

，
∴△COC₁≌△DOD₁（SAS），
∴∠ODD₁=∠OCC₁
∵∠C₁CD+∠OCC₁+∠CDO=90°，
∴∠C₁CD+∠ODD₁+∠CDO=90°，
∴∠CMD=90°
即：CC₁⊥DD₁．
故答案為：CC₁⊥DD₁．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用以及正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得出△COC₁≌△DOD₁是解題關(guān)鍵．