Question

如圖，在△ABC中，∠B、∠C的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，分別過(guò)B、C作BF、CF的垂線(xiàn)，交CF、BF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D、E，且BD、EC交于點(diǎn)G．則下列結(jié)論：①∠D+∠E=∠A；②∠BFC-∠G=∠A；③∠BCA+∠A=2∠ABD；④AB•BC=BD•BG．正確的有

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：由在△ABC中，∠B、∠C的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，與BD⊥BF，EC⊥CF，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義與三角形內(nèi)角和定理，易求得∠D+∠E=∠A；
由DG⊥BF，可得G=90°-∠E=90°-∠A，由∠BFC=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A，即可證得∠BFC-∠G=∠A；
根據(jù)角平分線(xiàn)的定義與三角形內(nèi)角和定理，易證得∠BCA+∠A=2∠ABD；
然后證得△DBC∽△ABG，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可證得AB•BC=BD•BG．
解答：∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，
∴∠ABF=∠CBF=∠ABC，∠ACF=∠BCF=∠ACB，
∵∠BFD=∠CFE=∠CBF+∠BCF=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，
∵BD⊥BF，EC⊥CF，
∴∠D=90°-∠BFD=∠A，∠E=90°-∠CFE=∠A，
∴∠D+∠E=∠A；
故①正確；
∵DG⊥BF，
∴∠FBG=90°，
∴∠G=90°-∠E=90°-∠A，
∵∠BFC=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A，
∴∠BFC-∠G=（90°+∠A）-（90°-∠A）=∠A；
故②正確；
∵DG⊥BF，
∴∠ABD=90°-∠ABF，
∵BF是△ABC的角平分線(xiàn)，
∴∠ABC=2∠ABF，
∴2∠ABD=180°-2∠ABF=180°-∠ABC，
∵∠BCA+∠A=180°-∠ABC，
∴∠BCA+∠A=2∠ABD；
故③正確；
連接AG，
∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，
∴AF是∠BAC的平分線(xiàn)，
∴∠AFB=180°-（∠BAF+∠ABF）=180°-（∠BAC+∠ABC）=180°-（180°-∠ACB）=90°+∠ACB①，
∵BF⊥DG，CF⊥EC，
∴∠FBG=∠FCG=90°，
∴∠FBG+∠FCG=180°，
∴點(diǎn)B，G，C，F(xiàn)共圓，
∴∠BFG=∠BCG=90°-∠FCB=90°-∠ACB②，
∴由①②可得：∠AFB+∠BFG=180°，
∴A，F(xiàn)，G共線(xiàn)，
∵∠BAF=∠D=∠BAC，∠DBC=90°+∠CBF，∠ABG=90°+∠ABF，
∴∠DBC=∠ABG，
∴△DBC∽△ABG，
∴BD：AB=BC：BG，
∴AB•BC=BD•BG．
故④正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．此題難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．