Question

如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，F(xiàn)為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE＝∠CBE．

(1)求證：BH＝AC；

(2)求證：BG²－GE²＝EA²．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根據(jù)ASA證出△DBH≌△DCA即可.（2）根據(jù)DB=DC和F為BC中點，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根據(jù)BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案.

試題解析：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，

∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°.

∴DB=DC，∠ABE=∠DCA.

在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，

∴△DBH≌△DCA（ASA）.∴BH=AC.

（2）連接CG，

∵F為BC的中點，DB=DC，∴DF垂直平分BC. ∴BG=CG.

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB.

在△ABE和△CBE中，∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，

∴△ABE≌△CBE（ASA）.∴EC=EA.

在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG²﹣GE²=EC².

∴BG²﹣GE²=EA².

考點：1.全等三角形的判定和性質(zhì)；2.線段垂直平分線的性質(zhì)3.勾股定理.