Question

設(shè)拋物線(xiàn)C₁：y=a₁x²+b₁x+c₁的頂點(diǎn)為（m₁，n₁），拋物線(xiàn)C₂：y=a₂x²+b₂x+c₂的頂點(diǎn)為（m₂，n₂），如果a₁+a₂=0，那么我們稱(chēng)拋物線(xiàn)C₁與C₂關(guān)于點(diǎn)（，）中心對(duì)稱(chēng)．給出拋物線(xiàn)①y=x²+4x+3，拋物線(xiàn)②y=-x²+4x+1．
（1）判斷拋物線(xiàn)①與拋物線(xiàn)②是否中心對(duì)稱(chēng)？若是，求出對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由；
（2）直線(xiàn)y=m交拋物線(xiàn)①于A、B兩點(diǎn)，交拋物線(xiàn)②于C、D兩點(diǎn)，如果AB=2CD，求m的值；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)①與拋物線(xiàn)②的頂點(diǎn)分別為M、N，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，若△MNP為直角三角形，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式a₁+a₂=0，求出兩函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合頂點(diǎn)坐標(biāo)得出對(duì)稱(chēng)中心；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系以及兩點(diǎn)之間的距離得出m的值即可；
（3）利用勾股定理以及三角形相似分別得出符合要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）拋物線(xiàn)①y=x²+4x+3的a₁=1，拋物線(xiàn)②y=-x²+4x+1的a₂=-1．
∵a₁+a₂=0，
∴拋物線(xiàn)①與拋物線(xiàn)②是中心對(duì)稱(chēng)，拋物線(xiàn)①y=x²+4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，-1），
拋物線(xiàn)②y=-x²+4x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，5），
∴對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)（，），
即：（0，2）；

（2）點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是方程x²+4x+3=m的兩根，
∴x_A+x_B=-4，x_A•x_B=3-m，
∴AB=|x_A-x_B|==，
同理CD=，
∵AB=2CD，
解得：m=；

（3）設(shè)點(diǎn)P（n，0）．由（1）得M（-2，-1），N（2，5），
作ME⊥x軸于E，作NF⊥x軸于F，PN²=NF²+PF²=25+（n-2）²，
同理PM²=ME²+PE²=1+（n+2）²，MN²=4²+6²=52．
①若∠MNP=90°，PM²=MN²+PN²，解得n=；
②若∠NMP=90°，PN²=MN²+PM²，解得n=-；
③若∠NPM=90°，PN²+PM²=MN²，解得n=±3（或由則△NPF∽△PME亦可求）．
綜上，點(diǎn)P坐標(biāo)為：P₁（，0），P₂（-，0），P₃（3，0），P₄（-3，0）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，此題綜合性較強(qiáng)針對(duì)兩點(diǎn)之間距離以及三角形的相似得出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．