Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．

（1）AC＝　 　cm；

（2）若點(diǎn)P恰好在AB的垂直平分線上，求此時(shí)t的值；

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACP是以AC為腰的等腰三角形（直接寫出結(jié)果）？

Answer 1

【答案】（1）3；（2）t為秒或秒；（3）t為3秒或秒或6秒．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理可以得到，代入數(shù)值計(jì)算即可；

（2）點(diǎn)P恰好在AB的垂直平分線上時(shí)，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，根據(jù)圖形計(jì)算即可；

（3）若△ACP是等腰三角形，分情況討論：①當(dāng)AP＝AC時(shí)；②當(dāng)CA＝CP時(shí)，利用勾股定理，三角形面積相等來(lái)計(jì)算即可．

（1）如甲圖所示：

∵∠ACB＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

在ABC中，由勾股定理得，

，

又AB＝5cm，BC＝4cm，

，

故答案為3；

（2）點(diǎn)P恰好在AB的垂直平分線上時(shí)，

如乙圖所示：

∵DE是線段AB的垂直平分線，

∴AD＝BD＝，AE＝BE，

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，

∵AB＝5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，

∴＝秒，

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，設(shè)BE＝x，則EC＝4﹣x，

∵AE＝BE，

∴AE＝x，

在Rt△AEC中，由勾股定理得，

∵AC＝3，AE＝x，EC＝4﹣x，

∴32+（4﹣x）2＝， 解得：x＝，

∴AB+BE＝，

∴秒，

即點(diǎn)P在AB的垂直平分線上時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為秒或秒，

故答案為：秒或秒；

（3）運(yùn)動(dòng)過程中，△ACP是等腰三角形，

①當(dāng)AP＝AC時(shí)，如丙圖（1）所示：

∵AC＝3，

∴AP＝3，

∴＝3秒，

②當(dāng)CA＝CP時(shí)，如丙圖（2）所示：

若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，AC＝C，過點(diǎn)C作CH⊥AB

交AB于點(diǎn)H，

∵，

AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，

∴CH＝cm，

在Rt△AHC中，由勾股定理得，

AH＝cm，

又∵A＝2AH＝cm，

∴秒，

若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，AC＝C，

∵AC＝3cm，

∴C＝3cm，

又∵B＝BC﹣C，

∴B＝1cm，

∴AP+B＝5+1＝6cm，

∴＝6秒，

綜合所述，△ACP是以AC為腰的等腰三角形時(shí)，t為3秒或秒或6秒，

故答案為：3秒或秒或6秒．