Question

【題目】如圖1，在中，，，，于點(diǎn)D，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

如圖2，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)C、E之間的距離；

在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，求AF的長(zhǎng)；

連結(jié)AF，記AF的中點(diǎn)為P，請(qǐng)直接寫出線段CP長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）CE＝；（2）AF的長(zhǎng)為+或﹣；（3）CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．

【解析】

（1）只要證明∠CBE＝90°，求出BE，BC利用勾股定理即可解決問題．

（2）分兩種情形畫出圖形分別求解即可．

（3）如圖3中，取AB的中點(diǎn)O，連接OP，CO．利用三角形的中位線定理可得OP＝ ，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O為圓心 為半徑的圓，由此即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，

∴AB＝2AC＝4，BC＝ ＝2，

∵CD⊥AB，

∴ ABCD＝ ACBC，

∴CD＝ ＝ ＝ ，

∴BD＝BE＝ ＝3，

∵∠ABE＝α＝60°，

∴∠CBE＝30°+60°＝90°，

∴CE＝ ＝ ＝．

（2）如圖2﹣1中，

∵A，F，E三點(diǎn)共線，

∴∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝ ，

∴AF＝AE﹣EF＝﹣ ．

如圖2﹣2中，

當(dāng)A，E，F共線時(shí)，∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝，

∴AF＝AE+EF＝+．

綜上所述，AF的長(zhǎng)為+或﹣．

（3）如圖3中，取AB的中點(diǎn)O，連接OP，CO．

∵AO＝OB，AP＝PF，

∴OP＝ BF＝BC＝，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O為圓心為半徑的圓，

∵OC＝ AB＝2，

∴CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．

故答案為：（1）CE＝ ；（2）AF的長(zhǎng)為+或﹣；（3）CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．