Question

（2004•江西）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，點(diǎn)E、F分別在AB、DC上，AE=DF=2，現(xiàn)把一塊直徑為2的量角器（圓心為O）放置在圖形上，使其0°線MN與EF重合；若將量角器0°線上的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)F上，再把量角器繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)∠α（0°＜α＜90°），此時(shí)量角器的半圓弧與EF相交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P處量角器的讀數(shù)為n°．
（1）用含n°的代數(shù)式表示∠α的大��；
（2）當(dāng)n°等于多少時(shí)，線段PC與MF平行？
（3）在量角器的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)M′作GH⊥M′F，交AE于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H．設(shè)GE=x，△AGH的面積為S，試求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接O′P，則∠PO′F=n°，因?yàn)镺′P=O′F，所以∠O′FP=∠a，由三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（2）連接M′P，因?yàn)镸′F是半圓O′的直徑，所以M′P⊥PF，又因?yàn)镕C⊥PF，所以FC∥M′P，若PC∥M′F，四邊形M′PCF是平行四邊形，故PC=M′F=2FC，∠α=∠CPF=30°，代入（1）中關(guān)系式即可；
（3）以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)E的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧ED，由于GM′⊥M′F于點(diǎn)M′，則GH是弧ED的切線．同理GE、HD也都是弧ED的切線，GE=GM′，HM′=HD．設(shè)GE=x，則AG=2-x，再設(shè)DH=y，則HM′=y，AH=2-y；在Rt△AGH中，由勾股定理得y與x的關(guān)系式，再代入三角形的面積公式即可．
解答：解：（1）連接O′P，則∠PO′F=n°；
∵O′P=O′F，
∴∠O′FP=∠a，
∴n°+2∠α=180°，即∠α=90°-n°；

（2）連接M′P；
∵M(jìn)′F是半圓O′的直徑，
∴M′P⊥PF；
又∵FC⊥PF，
∴FC∥M′P，
若PC∥M′F，
∴四邊形M′PCF是平行四邊形，∠α=30°，
∴PC=M′F=2FC，∠α=∠CPF=30°；
代入（1）中關(guān)系式得：
30°=90°-n°，
即n°=120°；

（3）以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)E的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧ED；
∵GM′⊥M′F于點(diǎn)M′，
∴GH是弧ED的切線，
同理GE、HD也都是弧ED的切線，
∴GE=GM′，HM′=HD；
設(shè)GE=x，則AG=2-x，
設(shè)DH=y，則HM′=y，AH=2-y；
在Rt△AGH中，AG²+AH²=GH²，得：
（2-x）²+（2-y）²=（x+y）²
即：4-4x+x²+4-4y+y²=x²+2xy+y²
∴y=
∴S=AG•AH=（2-x）（2-y）=（0＜x＜2）
即：S與x函數(shù)關(guān)系式為S=（0＜x＜2）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角的判定定理，切線的性質(zhì)及判定定理，勾股定理的運(yùn)用，是一道綜合性較好的題目．