Question

【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),B(9,10),AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點。

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E.F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標和四邊形AECP的最大面積；

(3)當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C.P、Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) y= x2x+1；(2) 四邊形AECP的面積最大值是,此時P(,)；

(3) Q點的坐標為(4,1)或(3,1),理由見解析.

【解析】分析：(1)把點A，B的坐標代入拋物線的解析式中，求b，c；(2)設(shè)P(m，m22m＋1)，根據(jù)S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四邊形AECP用含m式子表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；(3)設(shè)Q(t，1)，分別求出點A，B，C，P的坐標，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判斷出∠BAC＝∠PCA＝45°，則要分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求t.

詳解：(1)將A(0，1)，B(9，10)代入函數(shù)解析式得：

×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2c＝1，

所以拋物線的解析式y＝x22x＋1；

(2)∵AC∥x軸，A(0，1)，

∴x22x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C點坐標為(6，1)，

∵點A(0，1)，點B(9，10)，

∴直線AB的解析式為y＝x＋1，設(shè)P(m，m22m＋1)，∴E(m，m＋1)，

∴PE＝m＋1(m22m＋1)＝m2＋3m.

∵AC⊥PE，AC＝6，

∴S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC＝ACEF＋ACPF

＝AC(EF＋PF)＝ACEP

＝×6(m2＋3m)＝m2＋9m.

∵0<m<6，

∴當m＝時，四邊形AECP的面積最大值是，此時P()；

(3)∵y＝x22x＋1＝(x3)22，

P(3，2)，PF＝yFyp＝3，CF＝xFxC＝3，

∴PF＝CF，∴∠PCF＝45，

同理可得∠EAF＝45，∴∠PCF＝∠EAF，

∴在直線AC上存在滿足條件的點Q，

設(shè)Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，

∵以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，

①當△CPQ∽△ABC時，

CQ:AC＝CP:AB，(6t):6＝，解得t＝4，所以Q(4，1)；

②當△CQP∽△ABC時，

CQ:AB＝CP:AC，(6t)6，解得t＝3，所以Q(3，1).

綜上所述：當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上存在點Q，使得以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，Q點的坐標為(4，1)或(3，1).