Question

四邊形ABCD中,點E是AB的中點,F是AD邊上的動點．連結DE、CF．

（1）若四邊形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如圖（1）所示．

①請直接寫出AE的長度;

②當DE⊥CF時,試求出CF長度．

（2）如圖（2）,若四邊形ABCD是平行四邊形,DE與CF相交于點P．

探究：當∠B與∠PC滿足什么關系時,成立？并證明你的結論．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）①AE =5; ②CF=;

（2）當∠B+∠EPC=180°時,成立．證明見解析．

【解析】

試題分析：(1) ①四邊形ABCD是矩形, CD=10,點E是AB的中點,可得：AE=CD=5;

②根據(jù)已知證得△AED∽△DFC,;利用相似三角形對應邊成比例即可;

（2）當∠B+∠EPC=180°時,成立．根據(jù)已知證得：△DFP∽△DEA,△CPD∽△CDF,再根據(jù)對應邊成比例即可．

試題解析：(1) ①∵四邊形ABCD是矩形, CD=10,點E是AB的中點,

∴AE=CD=5;

②∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=∠FDC=90°,

∵CF⊥DE,

∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,

∴∠CFD=∠AED,

∵∠A=∠CDF,

∴△AED∽△DFC

∴

在△AED中,∠A =90°,AD=12,AE =5,

∴

∴

CF=;

（2）當∠B+∠EPC=180°時,成立．

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠B=∠ADC,AD∥BC,

∴∠B+∠A=180°,

∵∠B+∠EPC=180°,

∴∠A=∠EPC=∠FPD,

∵∠FDP=∠EDA,

∴△DFP∽△DEA,

∴,

∵∠B=∠ADC,∠B+∠EPC=180°,∠EPC+∠DPC=180°,

∴∠CPD=∠CDF,

∵∠PCD=∠DCF,

∴△CPD∽△CDF,

∴,

∴,

∴,

即當∠B+∠EPC=180°時,成立．

考點：相似形綜合題．