Question

（2012•五通橋區(qū)模擬）如圖，梯形ABCD，AB∥CD，AB=2cm，梯形ABCD內(nèi)部的⊙O分別切四邊于E，F(xiàn)，M，N，且∠OAB=30°，∠OBA=45°．
（1）求出⊙O的半徑OM的長(zhǎng)度；
（2）求出梯形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由⊙O切AB于M，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OM⊥AB，又由∠OAB=30°，∠OBA=45°，由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得AM=

3

OM，BM=OM，繼而可得

3

OM+OM=2，則可求得⊙O的半徑OM的長(zhǎng)度；
（2）首先過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，由⊙O分別切AB，AD于F，M，且∠OAB=30°，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，即可求得∠BAD的度數(shù)，求得DG與BC的長(zhǎng)，繼而求得AD與AG的長(zhǎng)，則可求得答案．

解答：解：（1）∵⊙O切AB于M，
∴OM⊥AB，
又∵∠OAB=30°，∠OBA=45°，
∴AM=

OM

tan30°

=

3

OM，BM=

OM

tan45°

=OM，
∵AM+BM=AB，
∴

3

OM+OM=2，
解得：OM=

2

3 +1

=

3

-1；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，
∵⊙O分別切AB，AD于F，M，且∠OAB=30°，
∴∠DAB=60°，
又∵OM=

3

-1，
∴DG=BC=2（

3

-1），
∴AD=

DG

sin60°

=2（

3

-1）•

2

3

=4-

4 3

3

，
∴AG=

1

2

AD=2-

2 3

3

，
∴梯形ABCD的周長(zhǎng)為：C_梯形ABCD=2AB-AG+AD+BC=4+

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．