Question

求自然數(shù)n，使S_n=9+17+25+…+（8n+1）=4n²+5n為完全平方數(shù)．

Answer 1

4n²+5n=n²（4+

5

n

）=p²．
若為完全平方數(shù)，則（4+

5

n

）必定也是完全平方數(shù)，
因?yàn)閚是自然數(shù)，所以此時(shí)n若大于5，則不能使原式為整數(shù)，也談不上完全平方數(shù)，
所以0＜n≤5 很容易看出n只能等于1才能使之成為完全平方數(shù)，
∴n=1時(shí)，使S_n=9+17+25+…+（8n+1）=4n²+5n為完全平方數(shù)．