Question

【題目】如圖1，我們將相同的兩塊含30°角的直角三角板Rt△DEF與Rt△ABC疊合，使DE在AB上，DE過(guò)點(diǎn)C，已知AC＝DE＝6．

（1）將圖1中的△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（DF與AB不重合），使邊DF、DE分別交AC、BC于點(diǎn)P、Q，如圖2．

①求證：△CQD∽△APD；②連接PQ，設(shè)AP＝x，求面積S△PCQ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將圖1中的△DEF向左平移（點(diǎn)A、D不重合），使邊FD、FE分別交AC、BC于點(diǎn)M、N設(shè)AM＝t，如圖3．

①判斷△BEN是什么三角形？并用含t的代數(shù)式表示邊BE和BN；②連接MN，求面積S△MCN關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在旋轉(zhuǎn)△DEF的過(guò)程中，試探求AC上是否存在點(diǎn)P，使得S△PCQ等于平移所得S△MCN的最大值？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）①△BEN是等腰三角形，BE＝6﹣t，BN＝（6﹣t），②；（3）存在，見解析．

【解析】

（1）①易得∠BCD＝∠A＝60°，∠ADP＝∠CDE，那么可得△CQD∽△APD②利用相似可得CQ＝x，那么PC＝6﹣x．可表示出S△PCQ

（2）①由外角∠FEN＝60°，∠B＝30°，可得∠BNE＝30°，∴NE＝BN，那么△BEN是等腰三角形．易得AD＝t，AB＝12，那么BE＝12﹣AD﹣DE＝6﹣t．過(guò)E作EG⊥BN于點(diǎn)G．利用30°的三角函數(shù)可求得BG，進(jìn)而求得BN

②容易利用t表示出MC、CN，即可表示出所求面積

（3）利用二次函數(shù)的最值表示出S△MCN的最大值，讓前面所求的面積的代數(shù)式等于即可．

（1）①證明：∵∠F＝∠B＝30°，∠ACB＝∠BDF＝90°∴∠BCD＝∠A＝60°，∵∠ADP+∠PDC＝90°，∠CDE+∠PDC＝90°∴△CQD∽△APD

②∵在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝3

又∵△CQD∽△APD，CQ＝x．

∴

（2）①△BEN是等腰三角形．BE＝6﹣t，BN＝（6﹣t）．

②S△MCN＝（6﹣t）×

（3）存在．

由題意建立方程，

解得x＝或

即當(dāng)AP＝或AP＝時(shí)，S△PCQ等于S△MCN的最大值．