Question

（2013•海寧市模擬）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（1，4）．矩形EFGH的頂點(diǎn)E、F在線段AB上，點(diǎn)G、H在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0）．（m＜1）
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，矩形EFGH的周長(zhǎng)最大，并求出這個(gè)最大值；
（3）設(shè)m²-2m=n，若以GH為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，試判斷⊙P與y軸的位置關(guān)系，并求出n的值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4），可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²+4，將A點(diǎn)（-1，0）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出此二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而得出與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)矩形EFGH的周長(zhǎng)為l，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，則EF=2-2m，HE=-m²+2m+3，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式得出l=2（EF+HE）=-2m²+10，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出m=0時(shí)，矩形EFGH的周長(zhǎng)有最大值是10；
（3）由于點(diǎn)C在y軸上，所以當(dāng)以GH為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，⊙P與y軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)．分兩種情況討論：①當(dāng)⊙P與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)C時(shí)，⊙P與y軸相切，切點(diǎn)為C，此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)C重合，則m=0，所以n=m²-2m=0；②當(dāng)⊙P與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，⊙P與y軸相交，設(shè)GH交y軸于點(diǎn)N，連接CP，則PN=1，CP=1-m，CN=OC-ON=3-（-m²+2m+3）=m²-2m，在Rt△CPN中運(yùn)用勾股定理，得CN²+PN²=CP²，即（m²-2m）²+1²=（1-m）²，即可求出n=1．

解答：解：（1）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²+4，
把x=-1，y=0代入，得0=4a+4，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）設(shè)矩形EFGH的周長(zhǎng)為l，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，如圖，
則EM=FM=1-m，EF=2（1-m）=2-2m．
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m²+2m+3，
∴HE=-m²+2m+3，
∴l(xiāng)=2（EF+HE）=2（2-2m-m²+2m+3）=-2m²+10，
∴當(dāng)m=0時(shí)，l有最大值，l的最大值為10．
即當(dāng)m=0時(shí)，矩形EFGH的周長(zhǎng)最大，這個(gè)最大值是10；

（3）①當(dāng)⊙P與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)C時(shí)，⊙P與y軸相切，如圖，
此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)C重合，
∴m=0，
∴n=m²-2m=0；
②當(dāng)⊙P與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，⊙P與y軸相交，且-1＜m＜1．
設(shè)GH交y軸于點(diǎn)N，連接CP，如圖，
則PN=1，CP=HP=1-m，ON=HE=-m²+2m+3，
∴CN=OC-ON=3-（-m²+2m+3）=m²-2m．
∵GH⊥y軸，
∴CN²+PN²=CP²，
∴（m²-2m）²+1²=（1-m）²，
∴（m²-2m）²=m²-2m，即n²=n．
∵n=m²-2m≠0，
∴n=1．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．