Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，已知△AOC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，0），C（0，2）．（1）請你以AC的中點(diǎn)為對稱中心，畫出△AOC的中心對稱圖形△ABC，此圖與原圖組成的四邊形OABC的形狀是 _________ ，請說明理由；
（2）如圖2，已知D（，0），過A，C，D的拋物線與（1）所得的四邊形OABC的邊BC交于點(diǎn)E，求拋物線的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在問題（2）的圖形中，一動點(diǎn)P由拋物線上的點(diǎn)A開始，沿四邊形OABC的邊從A﹣B﹣C向終點(diǎn)C運(yùn)動，連接OP交AC于N，若P運(yùn)動所經(jīng)過的路程為x，試問：當(dāng)x為何值時(shí)，△AON為等腰三角形（只寫出判斷的條件與對應(yīng)的結(jié)果）？

Answer 1

解：（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為E，連接OE并延長至B，使得BE=OE；連接AC，AB，則△ABC為所求作的△AOC的中心對稱圖形．
∵A（2，0），C（0，2），
∴OA=OC，
∵△ABC是△AOC的中心對稱圖形，
∴AB=OC，BC=OA，
∴OA=AB=BC=OC，
∴四邊形OABC是正方形；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、C、D的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（2，0），C（0，2），D（，0），
∴，解得a=-2，b=3，c=2，
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+3x+2；由（1）知，四邊形OABC為正方形，
∴B（2，2），
∴直線BC的解析式為y=2，
令y=-2x²+3x+2=2，解得x₁=0，x₂=，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2）．
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，有三種情形使得△AON為等腰三角形，
如圖②所示：
①△AON₁．此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N₁是正方形OABC對角線的交點(diǎn)，且△AON₁為等腰直角三角形，
則此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動路程為：x=AB=2；
②△AON₂．此時(shí)點(diǎn)P位于B﹣C段上．
∵正方形OABC，OA=2，
∴AC=2，
∵AN₂=OA=2，
∴CN₂=AC﹣AN₂=2﹣2．
∵AN₂=OA，
∴∠AON₂=∠AN₂O，
∵BC∥OA，
∴∠AON₂=∠CP₂N₂，又∠AN₂O=∠CN₂P₂，
∴∠CN₂P₂=∠CP₂N₂，
∴CP₂=CN₂=2﹣2．
此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為：x=AB+BC﹣CP₂=2+2﹣（2﹣2）=6﹣2；
③△AON₃．此時(shí)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C，P、C、N三點(diǎn)重合，△AON₃為等腰直角三角形，
此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為：x=AB+BC=2+2=4．
綜上所述，當(dāng)x=2，x=6﹣2或x=4時(shí)，△AON為等腰三角形．