Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2．若方程的兩根為x₁=1，x₂=-2．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P為線段AM上一動點(diǎn)，過P點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為H點(diǎn)，設(shè)OH的長為t，四邊形BCPH的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）將△BOC補(bǔ)成矩形，使△BOC的兩個頂點(diǎn)B、C成為矩形的一邊的兩個頂點(diǎn)，第三個頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)______．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線過與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，可得出c=2．根據(jù)題中給出的方程以及方程的解，可得出a，b以及a，c的比例關(guān)系，根據(jù)c的值，即可求出a，b的值，由此可求出拋物線的解析式．
（2）本題可根據(jù)拋物線的解析式得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)四邊形BCPH的面積=梯形PHOC的面積+△BOC的面積，可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）本題已告訴了O點(diǎn)在矩形的BC邊的對邊上，那么過矩形未知兩頂點(diǎn)的直線的解析式為y=-2x（直線BC的解析式是y=-2x+2，由于矩形的對邊互相平行，因此這條直線的斜率也是-2）．而矩形中過B點(diǎn)的BC的鄰邊的解析式為y=x+2（兩直線垂直，斜率的積為-1）．由此可求出一個矩形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求出另一點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意得：
，
解得，
即拋物線的解析式為：y=-x²-x+2．

（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式可求得：A（-2，0），B（1，0），C（0，2），M（-，）．
如圖設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于N點(diǎn)，
∵PH∥MN，
∴，
∵OH=t，AH=2-t，MN=，AN=OA-ON=，
∴PH=AH•MN÷AN=，
∴S=S_梯形PHOC+S_△BOC=（PH+OC）•OH+OB•OC=-（）．

（3）（-）（）．
點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定等知識點(diǎn)．（3）中運(yùn)用好平行和垂直時直線斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．