Question

一條拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過點(diǎn)（0，）與（4，）．
（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）現(xiàn)有一半徑為1，圓心P在拋物線上運(yùn)動的動圓，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時，求圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可得出二次函數(shù)的解析式．進(jìn)而可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)圓與y軸相切時，那么圓心的橫坐標(biāo)的絕對值為1，可將其橫坐標(biāo)（分正負(fù)兩個）代入拋物線的解析式中，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)圓與x軸相切時，那么圓心的縱坐標(biāo)的絕對值為1，然后仿照①的方法即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由拋物線過（0，），（4，）兩點(diǎn)，
得，
解得．
∴拋物線的解析式是：y=x²-x+，（3分）
由y=x²-x+=（x-2）²+，得拋物線的頂點(diǎn)（2，）；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）
①當(dāng)圓P與y軸相切時，有|x|=1，
∴x=±1
由x=1，得y=×1-1+=
由x=-1，得y=×（-1）²-（-1）+=
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（1，），P₂（-1，）；
②當(dāng)圓P與x軸相切時，有|y|=1
∵拋物線的開口向上，頂點(diǎn)在x軸的上方，y＞0，∴y=1
由y=1，得x²-x+=1
解得x=2±
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（2-，1），P₄（2+，1）
綜上所述，圓心P的坐標(biāo)為P₁（1，），P₂（-1，），P₃（，1），P₄（，1）．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及切線的判定，要注意的是（2）題中要分與x軸相切和與y軸相切兩種情況進(jìn)行討論，不要漏解．