Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點(diǎn)B（10，0），C（7，4）．直線l經(jīng)過A，D兩點(diǎn)，且sin∠DAB=．動點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點(diǎn)M，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為　  　，直線l的解析式為　  　；

（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍；

（3）試求（2）中當(dāng)t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．

Answer 1

解：（1）（﹣4，0）；y=x+4。

（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中：

①當(dāng)0＜t≤1時，如圖1，

過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5。

過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t。

∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，

S=PM•PE=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t。

②當(dāng)1＜t≤2時，如圖2，

過點(diǎn)C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，則CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t。

S=PM•PE=×2t×（16﹣7t）=﹣7t²+16t。

③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時，DM+CQ=CD=7，

即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=。

當(dāng)2＜t＜時，如圖3，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，

S=PM•MQ=×4×（16﹣7t）=﹣14t+32。

綜上所述，點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式為。

（3）①當(dāng)0＜t≤1時，，

∵a=﹣5＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當(dāng)0＜t≤1時，S隨t的增大而增大。

∴當(dāng)t=1時，S有最大值，最大值為9。

②當(dāng)1＜t≤2時，，

∵a=﹣7＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當(dāng)t=時，S有最大值，最大值為。

③當(dāng)2＜t＜時，S=﹣14t+32

∵k=﹣14＜0，∴S隨t的增大而減小。

又∵當(dāng)t=2時，S=4；當(dāng)t=時，S=0，∴0＜S＜4。

綜上所述，當(dāng)t=時，S有最大值，最大值為。

（4）t=或t=時，△QMN為等腰三角形。

【解析】（1）利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，由sin∠DAB=，利用特殊三角函數(shù)值，得到△AOD為等腰直角三角形，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式：

 ∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）。

∵sin∠DAB=，∴∠DAB=45°。∴OA=OD=4。∴A（﹣4，0）。

設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，則有，解得：�！鄖=x+4。

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，0），直線l的解析式為：y=x+4。

（2）弄清動點(diǎn)的運(yùn)動過程分別求解：①當(dāng)0＜t≤1時，如圖1；②當(dāng)1＜t≤2時，如圖2；③當(dāng)2＜t＜時，如圖3。

（3）根據(jù)（2）中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計(jì)算，最終確定S的最大值。

（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論：

①如圖4，點(diǎn)M在線段CD上，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，

由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=。

②如圖5，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到C點(diǎn)，同時當(dāng)Q剛好運(yùn)動至終點(diǎn)D，

此時△QMN為等腰三角形，t=。

∴當(dāng)t=或t=時，△QMN為等腰三角形。

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題，雙動點(diǎn)問題，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。