Question

在△ABC的邊AB，BC，CA上分別取點P，Q，S．證明以△APS，△BQP，△CSQ的外心為頂點的三角形與△ABC相似．

Answer 1

解：設(shè)O₁，O₂，O₃是△APS，△BQP，
△CSQ的外心，作出六邊形
O₁PO₂QO₃S后再由外
心性質(zhì)可知
∠PO₁S=2∠A，
∠QO₂P=2∠B，
∠SO₃Q=2∠C．
∴∠PO₁S+∠QO₂P+∠SO₃Q=360°．
從而又知∠O₁PO₂+∠O₂QO₃+∠O₃SO₁=360°
將△O₂QO₃繞著O₃點旋轉(zhuǎn)到△KSO₃，易判斷△KSO₁≌△O₂PO₁，
同理可得△O₁O₂O₃≌△O₁KO₃．
∴∠O₂O₁O₃=∠KO₁O₃=∠O₂O₁K
=（∠O₂O₁S+∠SO₁K）
=（∠O₂O₁S+∠PO₁O₂）
=∠PO₁S=∠A；
同理有∠O₁O₂O₃=∠B．
故△O₁O₂O₃∽△ABC．
分析：設(shè)O₁，O₂，O₃是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六邊形，即可判定△KSO₁≌△O₂PO₁，同時可得△O₁O₂O₃≌△O₁KO₃，再求證∠O₁O₂O₃=∠B即可得△O₁O₂O₃∽△ABC．
點評：本題考查了相似三角形的證明，考查了相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了周角為360°的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠O₁O₂O₃=∠B是解題的關(guān)鍵．