Question

如圖，在ABC中，∠C＝90º，BD是ABC的一條角一平分線，點O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形，

（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的長

　　　　　　　　　　　　　　　　　

Answer 1

（1）過點O作ON⊥AB于點M

∵正方形OECF

∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F

∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E

∴OM＝OE＝OF

∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E

∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°

∵

∴Rt△AMO≌Rt△AFO

∴∠MA0＝∠FAO

∴點O在∠BAC的平分線上

（2）方法一：

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12

∴AB＝13

易證：BE＝BM，AM＝AF

又BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而CE＝CF＝OE

故：BE＝12－OE，AF＝5－OE

顯然：BM＋AM＝AB

　即：BE＋AF＝13

12－OE＋5－OE＝13

解得OE＝2

方法二

利用面積法：

S△ABC＝

S△ABC＝

從而解得。