Question

如圖，⊙O是△ABC外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是

1

2

弧上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線交AB延長(zhǎng)線與點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，DP是⊙O的切線？說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)DP是⊙O的切線時(shí)，求DP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）由AB=AC，易得PA是⊙O的直徑．繼而可得PA⊥BC，然后由BC∥PD，證得DP是⊙O的切線；
（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點(diǎn)E．由勾股定理，可求得AE的長(zhǎng)，易證得△ABE∽△ADP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得DP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）當(dāng)P是BC中點(diǎn)時(shí)，DP是⊙O的切線．
理由如下：
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵

PB

=

PC

，
∴

PBA

=

PCA

，
∴PA是⊙O的直徑．
∵

PB

=

PC

，
∴∠1=∠2，
又∵AB=AC，
∴PA⊥BC．
∵DP∥BC，
∴PD⊥AP．
∴DP是⊙O的切線．

（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點(diǎn)E．
由垂徑定理得，BE=

1

2

BC=6．
在Rt△ABE中，據(jù)勾股定理，AE=

AB2-BE2

=

102-62

=8．
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=8-r．
在Rt△OBE中，r²=6²+（8-r）²．
解得r=

25

4

．
∵DP∥BC，
∴∠ABE=∠D．
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP．
∴

BE

DP

=

AE

AP

，
即

6

DP

=

8

2× 25 4

，
∴DP=

75

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．