Question

（2006•泉州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（4，12）為雙曲線(xiàn)（x＞0）上的一點(diǎn)．
（1）求k的值；
（2）過(guò)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)P作PB⊥x軸于B，連接OP，若Rt△OPB兩直角邊的比值為，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分別過(guò)雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)P₁、P₂，作P₁B₁⊥x軸于B₁，P₂B₂⊥x軸于B₂，連接OP₁、OP₂．設(shè)Rt△OP₁B₁、Rt△OP₂B₂的周長(zhǎng)分別為l₁、l₂，內(nèi)切圓的半徑分別為r₁、r₂，若，試求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把A的坐標(biāo)代入解析式中就可以確定k的值；
（2）設(shè)P（m，n），根據(jù)函數(shù)解析式和Rt△OPB兩直角邊的比值可以列出方程，解方程可以求出m，n，也就求出了點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)最下圖此題首先應(yīng)該知道一個(gè)結(jié)論：（a+b+c）•r=ab，利用這個(gè)結(jié)論可以得到，這樣就可以求出的值了．
解答：解：（1）將A（4，12）代入雙曲線(xiàn)中，得12=，則k=48；（3分）

（2）由（1）得雙曲線(xiàn)解析式為，（4分）
設(shè)P（m，n），∴，即mn=48，（5分）
當(dāng)時(shí)，即，可設(shè)m=z，n=4z，
∴z•4z=48，解得，
∴，，
∴P（，），（7分）
當(dāng)時(shí)，同理可求得P（，）；（8分）

（3）在Rt△OP₁B₁中，設(shè)OB₁=a₁，P₁B₁=b₁，OP₁=c₁，
則P₁（a₁，b₁），由（2）得a₁b₁=48，
在Rt△OP₂B₂中，設(shè)OB₂=a₂，P₂B₂=b₂，OP₂=c₂，
則P₂（a₂，b₂），由（2）得a₂b₂=48，
∵（10分）
∴（a₁+b₁+c₁）•r₁=（a₂+b₂+c₂）•r₂（11分）
即l₁•r₁=l₂•r₂，故（12分）
又∵=2，∴=2，即得：=．（13分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題，也利用了三角形的內(nèi)切圓的知識(shí)，有一定綜合性．