Question

（1）如圖1所示，在等邊△ABC中，點D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE，求證：AE∥BC；
（2）如圖2所示，將（1）中等邊△ABC的形狀改成以BC為底邊的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，請問仍有AE∥BC？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明△ACE≌△BCD推出∠ACB=∠EAC即可證．
（2）證明△ABC∽△EDC后可推出∠EAC=∠ACB，由此可證．
解答：證明：（1）∵△ABC和△EDC是等邊三角形
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=CB，EC=DC，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠EAC，
∴AE∥BC；

（2）仍平行；
∵△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△AEC∽△BDC，
∴∠EAC=∠B，
又∵∠ACB=∠B，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．
點評：本題考查的是全等三角形的判定以及相似三角形的判定的有關知識．關鍵是證明△ACE≌△BCD和△ABC∽△EDC．