Question

如圖，要設(shè)計一個矩形的花壇，花壇長60m，寬40m，有兩條縱向甬道和一條橫向甬道，橫向甬道的兩側(cè)有兩個半圓環(huán)形甬道，半圓環(huán)形甬道的內(nèi)半圓的半徑為10m，橫向甬道的寬度是其它各甬道寬度的2倍．設(shè)橫向甬道的寬為2x m．（π的值取3）
（1）用含x的式子表示兩個半圓環(huán)形甬道的面積之和；
（2）當(dāng)所有甬道的面積之和比矩形面積的

1

5

多36m²時，求x的值；
（3）根據(jù)設(shè)計的要求，x的值不能超過3m．如果修建甬道的總費(fèi)用（萬元）與x（m）成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是7.59，花壇其余部分的綠化費(fèi)用為0.03萬元/m²，那么x為何值時，所建花壇的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）由于半圓環(huán)形甬道的內(nèi)半圓的半徑為10m，橫向甬道的寬度是其它各甬道寬度的2倍，而橫向甬道的寬為2x，由此得到半圓環(huán)形甬道的外半圓的半徑為（10+x）m，然后利用圓的面積公式即可求出兩個半圓環(huán)形甬道的面積之和；
（2）首先用x表示所有甬道的面積之和為40×x×2+60×2x-2x²×2+3x²+60x，然后根據(jù)已知條件的關(guān)于x的方程，解方程即可求解；
（3）由于修建甬道的總費(fèi)用（萬元）與x（m）成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是7.59，因此得到修建甬道的總費(fèi)用為7.59x，而花壇其余部分的綠化費(fèi)用為0.03萬元/m²，花壇其余部分的面積為[60×40-（-x²+260x）]，因此即可求出所建花壇的總費(fèi)用y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所建花壇的最少費(fèi)用．

解答：解：（1）兩個半圓環(huán)形甬道的面積=π（10+x）²-π×10²=3x²+60x（m²）；

（2）依題意，得40×x×2+60×2x-2x²×2+3x²+60x=

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5

×60×40+36，
整理，得x²-260x+516=0，
解得x₁=2，x₂=258（不符合題意，舍去）．
∴x=2；

（3）設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元，則
y=0.03×[60×40-（-x²+260x）]+7.59x
=0.03x²-0.21x+72．
∴當(dāng)x=-

b

2a

=

0.21

2×0.03

=3.5時，y的值最小．
因?yàn)楦鶕?jù)設(shè)計的要求，x的值不能超過3，
∴當(dāng)x=3時，總費(fèi)用最少．
最少費(fèi)用為y=0.03×3²-0.21×3+72=71.64（萬元）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大（小）值的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．