Question

已知線段a和直角∠α：
（1）用尺規(guī)作△ABC，使得∠C=∠α，BC=a，AB=2a（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）；
（2）用尺規(guī)作△ABC的中線CD和角平分線CE（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）；
（3）求出∠DCE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長(zhǎng)線段a得到2a長(zhǎng)的線段，然后作一直角，在一邊上截取CB=a，然后以點(diǎn)B為圓心，以2a長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與另一直角邊相交于點(diǎn)A，連接AB，則△ABC即為所求作的三角形；
（2）以點(diǎn)B為圓心，以a為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，然后連接CD即為中線，以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC、AC分別相交，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于它們長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C與這一點(diǎn)作射線交AB于點(diǎn)E，則CE為所求作的角平分線；
（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠ACE=45°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得∠A=30°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠ACD=30°，再根據(jù)∠DCE=∠ACE-∠ACD計(jì)算即可得解．
解答：解：（1）如圖所示，△ABC即為所求作的三角形，
[評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：∠C（1分）；線段BC=a，AB=2a（2分）（各1分）]；

（2）如圖所示，CD為即為所求作的中線，CE即為所求作的角平分線；
[評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：中線（1分）；角平分線（1分）]；

（3）∵CE是角平分線，
∴∠ACE=×90°=45°，
∵AB=2a，BC=a，∠C=90°，
∴∠A=30°，
∵CD是中線，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-30°=15°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了復(fù)雜作圖，作一個(gè)角是直角，作一條線段等于已知線段，以及已知線段的2倍，角平分線的作法，都是基本作圖，需熟練掌握并靈活運(yùn)用．