Question

給出以下命題：
①已知2¹⁵-8可以被在60～70之間的兩個(gè)整數(shù)整除，則這兩個(gè)數(shù)是63、65；
②若a^x=2，a^y=3，則a^2x-y=

4

3

；
③已知關(guān)于x的方程

2x+m

x-2

=3的解是正數(shù)，則m的取值范圍為m＞-6或m≠-4；
④若方程x²-2（m+1）x+m²=0有兩個(gè)整數(shù)根，且12＜m＜60，則m的整數(shù)值有2個(gè)．
其中正確的是（　�。�

• A、①②
• B、①②④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題與定理

專題：

分析：①將2¹⁵-8中第一項(xiàng)利用冪的乘方逆運(yùn)算法則變形后，利用平方差公式分解因式，繼續(xù)利用冪的乘方逆運(yùn)算法則變形后，利用平方差公式分解因式，根據(jù)2¹⁵-8可以被60到70之間的某兩個(gè)整數(shù)整除，即可得到兩因式分別為63和65．
②利用冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算得出即可；
③利用分式方程的解法以及不等式的解法得出即可；
④根據(jù)二次方程根與判別式的關(guān)系，可得△≥0；又由關(guān)于未知數(shù)x的方程x²-2（m+1）x+m²=0有兩個(gè)整數(shù)根，可得

△

為整數(shù)，即2m+1是一個(gè)完全平方數(shù)，根據(jù)條件12＜m＜60，討論即可求得m的值．

解答：解：①2¹⁵-8=2¹⁵-2³=2³×（2¹²-1）=2³×（2⁶+1）（2⁶-1）=2³×63×65，
則所求的兩個(gè)數(shù)分別為63，65，故此選項(xiàng)正確；

②∵a^x=2，a^y=3，
則a^2x-y=（a^x）²÷a^y=4÷3=

4

3

，故此選項(xiàng)正確；

③關(guān)于x的方程

2x+m

x-2

=3的解是正數(shù)，
∴2x+m=3（x-2），
整理得出：-x=-m-6，
即x=m+6，故m+6＞0，
解得：m＞-6，又∵x≠2，當(dāng)m=-4時(shí)x=2，
則m的取值范圍為m＞-6且m≠-4，原題中是“或”故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④∵△=[-2（m+1）]²-4m²=8m+4，
∵關(guān)于未知數(shù)x的方程x²-2（m+1）x+m²=0有兩個(gè)整數(shù)根，
∴

△

=2

2m+1

是整數(shù)，
又∵12＜m＜60，
∴5＜

2m+1

＜11，
∵方程有兩個(gè)整數(shù)根必須使

2m+1

為正整數(shù)，且m為整數(shù)，
∴

2m+1

=7或9，
∴m=24或40，故此選項(xiàng)正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程中根與判別式的關(guān)系以及因式分解的應(yīng)用和分式方程的解法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是注意抓住已知條件，利用分類討論思想求解．