Question

已知拋物線y=x²+kx+k-2．
（1）求證：不論k為任何實數(shù)，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若反比例函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱，又與拋物線交于點A（n，-3），求拋物線的解析式；
（3）若點P是（2）中拋物線上的一點，且點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）證明：△=k²-4×1×（k-2）
=k²-4k+4+4
=（k-2）²+4，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0，
即△＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個交點；

（2）解：∵反比例函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴m=6，
∴=-3，
解得n=-2，
∴點A的坐標(biāo)為（-2，-3），
∴（-2）²+（-2）k+k-2=-3，
解得k=5，
∴拋物線解析式為：y=x²+5x+3；

（3）解：∵拋物線上的點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，
∴①點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同時，y=x，
與拋物線解析式聯(lián)立得，，
解得，，
②點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)時，y=-x，
與拋物線解析式聯(lián)立得，，
解得，，
∴點P的坐標(biāo)為（-1，-1）或（-3，-3）或（-3+，3-）或（-3-，3+）．
分析：（1）利用根的判別式進行證明；
（2）先根據(jù)關(guān)于y軸的對稱性求出反比例函數(shù)解析式，然后把點A的坐標(biāo)代入求出n的值，從而得到點A的坐標(biāo)，再把點A的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）根據(jù)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，分①點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，②點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)兩種情況與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標(biāo)．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，拋物線與x軸的交點問題，待定系數(shù)法求拋物線解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，兩函數(shù)圖象交點的求解方法，綜合性較強，但難度不是很大，仔細(xì)分析不難求解．