Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D是AC上的一點(diǎn)，將△ABC沿著過(guò)點(diǎn)D的一條直線翻折，使點(diǎn)C落在BC邊上的點(diǎn)E處，連接AE、DE，當(dāng)∠CDE=∠AEB時(shí)，AE的長(zhǎng)是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

分別過(guò)A、D點(diǎn)作AM、DN垂直于BC與M、N點(diǎn)，利用三角形內(nèi)角和180°，以及平角180度，推導(dǎo)出ED平分∠AEC，則DA=DN，設(shè)DN=DA=x，則CD=8-x，利用三角函數(shù)求出ED、DN長(zhǎng)，從而確定了EN和CN長(zhǎng)為4，可求BE=2，利用三角函數(shù)知識(shí)求出AM、BM值，最后在Rt△AEM中利用勾股定理求的AE長(zhǎng)．

由勾股定理可得BC=10．

分別過(guò)A、D點(diǎn)作AM、DN垂直于BC與M、N點(diǎn)，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠C=∠DEC，EN=CN，

∵∠DEC+∠C+∠EDC=180°，∠DEC+∠AED+∠AEB=180°，

已知∠EDC=∠AEB，∴∠AED=∠DCE=∠DEC，即ED平分∠AEC，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DN=DA，

設(shè)DN=DA=x，則CD=8-x，

sinC=，即，

解得x=3，

所以DN=3，CD=5，

所以NC=4，EN=4，

所以BE=10-4-4=2，

sinB=，即，解得AM=4.8，

在Rt△ABM中利用勾股定理可得BM=3.6，

則EM=3.6-2=1.6，

在Rt△AEM中，AE=.