Question

如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是斜邊AB的中點，點E、F分別是邊AC、BC上兩個動點，且ED⊥DF．
（1）當(dāng)E、F分別在AC、BC邊上移動時，并保持∠EDF=90°，DE、DF是否相等？請證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)E、F分別在AC、BC上移動時，并保持∠EDF=90°，S_{四邊形DECF}會隨著變化嗎？請證明你的結(jié)論．
（3）S_{四邊形DECF}=5cm²時，求AC的長．

Answer 1

（1）解：DE=DF．
理由如下：如圖，連接CD，
∵AC=BC，D是AB的中點，
∴CD是∠ACB的平分線，
作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為點M、N，
則∠DME=∠DNF=90°，DM=DN（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
又∵∠C=90°，
∴四邊形CMDN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDF+∠FDN=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDM+∠MDF=90°，
∴∠EDM=∠FDN，
在△DEM和△DFN中，
∵，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE=DF；

（2）解：S_{四邊形DECF}不會變化．
理由如下：根據(jù)（1）可得△DEM≌△DFN，
所以S_△DEM=S_△DFN，
所以S_{四邊形DECF}=S_{正方形CMDN}，
∵點D是斜邊AB邊的中點，
∴CD=AB（不變），
∴正方形CMDN的面積不變，
∴S_{四邊形DECF}不會變化；

（3）解：∵S_{四邊形DECF}=5cm²，
∴CD²=5（正方形的面積等于對角線乘積的一半），
解得CD=，
AC=CD=×=2（等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍）．
分析：（1）連接CD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD是∠ACB的平分線，作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為點M、N，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DM=DN，再證明四邊形CMDN是正方形，然后根據(jù)等角的余角相等可得∠EDM=∠FDN，然后利用“角邊角”證明△DEM和△DFN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF；
（2）根據(jù)全等三角形的面積相等可得△DEM和△DFN的面積相等，從而得到四邊形DECF的面積等于正方形CMDN的面積，是定值不變；
（3）根據(jù)四邊形DECF的面積求出CD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系即可得解．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，正方形的面積的求解，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．